Indhold

• Trin
• Metode 1 af 3: Sådan finder du den ukendte side
• Metode 2 af 3: Find en ukendt vinkel
• Metode 3 af 3: Prøveproblemer
• Tips

Kosinussætningen bruges meget i trigonometri. Det bruges, når man arbejder med uregelmæssige trekanter til at finde ukendte størrelser som sider og vinkler. Sætningen ligner Pythagoras sætning og er temmelig let at huske. Kosinussætningen siger det i enhver trekant ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

Trin

Metode 1 af 3: Sådan finder du den ukendte side

1. 1 Skriv de kendte værdier ned. For at finde den ukendte side af en trekant skal du kende de to andre sider og vinklen mellem dem.
   • For eksempel givet en trekant XYZ. YX -siden er 5 cm, YZ -siden er 9 cm, og Y -vinklen er 89 °. Hvad er XZ -siden?
2. 2 Skriv cosinussætningens formel ned. Formel: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, hvor ${ displaystyle c}$ - ukendt parti, ${ displaystyle cos {C}}$ - cosinus af vinklen modsat den ukendte side, ${ displaystyle a}$ og ${ displaystyle b}$ - to kendte sider.
3. 3 Sæt de kendte værdier i formlen. Variabler ${ displaystyle a}$ og ${ displaystyle b}$ betegne to kendte sider. Variabel ${ displaystyle C}$ er den kendte vinkel, der ligger mellem siderne ${ displaystyle a}$ og ${ displaystyle b}$.
   • I vores eksempel er XZ -siden ukendt, så i formlen betegnes den som ${ displaystyle c}$... Da siderne YX og YZ kendes, betegnes de med variablerne ${ displaystyle a}$ og ${ displaystyle b}$... Variabel ${ displaystyle C}$ er vinklen Y. Så formlen skrives som følger: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 Find cosinus for en kendt vinkel. Gør det med en lommeregner. Indtast en vinkelværdi, og klik derefter på ${ displaystyle COS}$... Hvis du ikke har en videnskabelig lommeregner, kan du for eksempel finde et online cosinusbord her. Også i Yandex kan du indtaste "cosinus med X grader" (erstat vinkelværdien for X), og søgemaskinen viser cosinus for vinklen.
   • For eksempel er cosinus 89 ° ≈ 0,01745. Så: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$.
5. 5 Gang tallene. Formere sig ${ displaystyle 2ab}$ ved cosinus af en kendt vinkel.
   • For eksempel:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
6. 6 Fold firkanterne på de kendte sider. Husk at for at kvadrere et tal skal det ganges med sig selv. Først kvadrerer de tilsvarende tal, og tilføj derefter de resulterende værdier.
   • For eksempel:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 Træk to tal fra. Du vil finde ${ displaystyle c ^ {2}}$.
   • For eksempel:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 Tag kvadratroden af ​​denne værdi. For at gøre dette skal du bruge en lommeregner. Sådan finder du den ukendte side.
   • For eksempel:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ displaystyle c = 10.2191}$
     Så den ukendte side er 10,2191 cm.

Metode 2 af 3: Find en ukendt vinkel

1. 1 Skriv de kendte værdier ned. For at finde den ukendte vinkel på en trekant, skal du kende alle tre sider af trekanten.
   • For eksempel givet en trekant RST. Side CP = 8 cm, ST = 10 cm, PT = 12 cm Find værdien af ​​vinklen S.
2. 2 Skriv cosinussætningens formel ned. Formel: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, hvor ${ displaystyle cos {C}}$ - cosinus med en ukendt vinkel ${ displaystyle c}$ - en kendt side overfor et ukendt hjørne ${ displaystyle a}$ og ${ displaystyle b}$ - to andre berømte fester.
3. 3 Find værdierne -en{ displaystyle a}, b{ displaystyle b} og c{ displaystyle c}. Tilslut dem derefter til formlen.
   • For eksempel er RT -siden modsat den ukendte vinkel S, så RT -siden er ${ displaystyle c}$ i formlen. Andre parter vil ${ displaystyle a}$ og ${ displaystyle b}$... Så formlen vil blive skrevet som følger: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 Gang tallene. Formere sig ${ displaystyle 2ab}$ ved cosinus i den ukendte vinkel.
   • For eksempel, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 Opføre c{ displaystyle c} i en firkant. Det vil sige, multiplicere selve tallet.
   • For eksempel, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 Fold firkanterne -en{ displaystyle a} og b{ displaystyle b}. Men først, firkant de tilsvarende tal.
   • For eksempel:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 Isolér cosinus for den ukendte vinkel. For at gøre dette skal du trække beløbet fra ${ displaystyle a ^ {2}}$ og ${ displaystyle b ^ {2}}$ fra begge sider af ligningen. Derefter divideres hver side af ligningen med faktoren ved cosinus for den ukendte vinkel.
   • For eksempel for at isolere cosinus for en ukendt vinkel, træk 164 fra begge sider af ligningen og divider derefter hver side med -160:
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0.125 = cos {C}}$
8. 8 Beregn den inverse cosinus. Dette finder værdien af ​​den ukendte vinkel. På lommeregneren er den inverse cosinus -funktion betegnet ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • For eksempel er arccosinen på 0,0125 82,8192. Så vinklen S er 82,8192 °.

Metode 3 af 3: Prøveproblemer

1. 1 Find den ukendte side af trekanten. De kendte sider er 20 cm og 17 cm, og vinklen mellem dem er 68 °.
   • Da du får to sider og vinklen mellem dem, kan du bruge cosinussætningen. Skriv formlen ned: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Den ukendte side er ${ displaystyle c}$... Sæt de kendte værdier i formlen: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • Beregn ${ displaystyle c ^ {2}}$, observere rækkefølgen af ​​matematiske operationer:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0.3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434.2675}$
   • Tag kvadratroden på begge sider af ligningen. Sådan finder du den ukendte side:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ displaystyle c = 20.8391}$
     Så den ukendte side er 20,8391 cm.
2. 2 Find vinklen H i trekant GHI. De to sider ved siden af ​​hjørnet H er 22 og 16 cm. Siden modsat hjørnet H er 13 cm.
   • Da alle tre sider er givet, kan cosinussætningen bruges. Skriv formlen ned: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Siden modsat det ukendte hjørne er ${ displaystyle c}$... Sæt de kendte værdier i formlen: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • Forenkle det resulterende udtryk:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • Isolér cosinus:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • Find den omvendte cosinus. Sådan beregner du den ukendte vinkel:
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     Således er vinklen H 35,7985 °.
3. 3 Find sporets længde. Floden, bakkede og sumpede stier danner en trekant. River Trail er 3 km lang, Hillly Trail er 5 km lang; disse stier skærer hinanden med en vinkel på 135 °. Sumpsporet forbinder de to ender af de andre stier. Find længden af ​​Swamp Trail.
   • Stierne danner en trekant. Du skal finde længden af ​​den ukendte sti, som er siden af ​​trekanten. Da længden af ​​de to andre stier og vinklen mellem dem er angivet, kan cosinussætningen bruges.
   • Skriv formlen ned: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Den ukendte sti (Sump) vil blive betegnet som ${ displaystyle c}$... Sæt de kendte værdier i formlen: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • Beregn ${ displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) ( - 0.7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - ( - 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55.2132}$
   • Tag kvadratroden på begge sider af ligningen. Sådan finder du længden af ​​den ukendte sti:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ displaystyle c = 7.4306}$
     Så Swamp Trail er 7.4306 km.

Tips

• Det er lettere at bruge sinus sætningen. Find derfor først ud af, om det kan anvendes på det givne problem.