Indhold

• Trin
• Råd
• Advarsel

Inversion bruges ofte i beregning for at forenkle problematiske problemer på andre måder. For eksempel er det lettere at multiplicere med det inverse af en brøkdel, end det er at dele det direkte med det tal. Dette er det omvendte. Da der heller ikke er nogen brøktegn for matrixen, bliver du nødt til at multiplicere dens inverse matrix. Beregning af den inverse matrix af en 3x3 matrix kan være meget kedelig, men det er et problem værd at overveje. Du kan også bruge en avanceret grafregner til at gøre dette.

Trin

Metode 1 af 3: Opret en ekstra matrix for at finde den inverse matrix

1. 

   Kontroller matrixens determinant. Det første trin: Find matrixens determinant. Hvis determinanten er 0, er det gjort: denne matrix er ikke reversibel. Determinanten for en matrix M kan betegnes det (M).
   • For at finde det omvendte af en 3x3 matrix skal du først beregne dens determinant.
   • For at gennemgå, hvordan man finder determinanten for en matrix, henvises til artiklen Find 3x3 matrixdeterminanter.

2. 

   
   
   Oprindelig matrixtransposition. Transposition betyder at reflektere matrixen over hoveddiagonalen eller med andre ord at bytte element (i, j) og element (j, i). Ved transponering af elementer i en matrix forbliver hoveddiagonalen (løber fra det øverste venstre hjørne til det nederste højre hjørne) konstant.
   • En anden måde at forstå transponering på er, at du omskriver matrixen, så den første række bliver den første kolonne, den midterste række bliver den midterste kolonne, og den tredje række bliver den tredje kolonne. Vær opmærksom på farveelementerne i illustrationen ovenfor, og læg mærke til den nye position for numrene.

3. 

   
   
   Find determinanten for hver 2x2 sub-matrix. Alle elementer i den nye 3x3 forskydningsmatrix er knyttet til en tilsvarende 2x2 'sub' matrix. For at finde undermatrixen for hvert element skal du først markere rækken og kolonnen for det første element. Alle 5 elementer fremhæves. De resterende fire elementer danner undermatrixen.
   • I ovenstående eksempel, hvis du vil finde elementets undermatrix i række to, kolonne 1, fremhæver du fem orddele i anden række og første kolonne. De resterende fire elementer er den tilsvarende undermatrix.
   • Find determinanten for hver undermatrix ved at multiplicere diagonalt og trække to produkter fra hinanden som vist i figuren ovenfor.
   • Læs mere for at lære mere om undermatricer og deres anvendelser.

4. 

   
   
   Lav en matrix af algebraiske underafsnit. Placer resultatet opnået fra det foregående trin i en ny matrix sammensat af algebraiske underafsnit ved at placere hver undermatrixdeterminant i den tilsvarende position i den oprindelige matrix. Således placeres determinanten beregnet ud fra elementet (1,1) i den oprindelige matrix i position (1,1). Derefter bliver du nødt til at ændre erstatningstegnet på denne nye matrix i henhold til referencetabellen vist i illustrationen ovenfor.
   • Ved bestemmelse af tegnet bevares mærket for det første molekyle af det ledende. Det andet elements tegn er omvendt. Tegnet på det tredje element bevares. Fortsæt sådan for resten af ​​matrixen. Bemærk, at tegnet (+) eller (-) i referencediagrammet ikke indikerer, at elementet indtil slutningen bærer et positivt eller negativt tegn. De viser kun, at elementerne holdes intakte (+) eller ændres med (-).
   • Se grundlæggende matrix for mere om algebraiske vedhæng.
   • Det endelige resultat, vi får i dette trin, er den komplementære matrix af den oprindelige matrix. Det kaldes undertiden også en konjugatmatrix og betegnes Adj (M).

5. 

   Del alle elementer i komplementmatrixen med determinanten. Brug determinanten for den matrix M, du beregnede i det første trin (for at kontrollere, om matrixen er reversibel). Del nu hvert element i matrixen med denne værdi. Sæt kvotienten for hver division i positionen for det originale element, og vi får den inverse matrix af den oprindelige matrix.
   • Prøvematricen, der er vist i illustrationen, har determinanten 1. Derfor, når vi deler hvert element i den komplementære matrix med determinanten, opnår vi sig selv (du vil ikke altid være så heldig). .
   • I stedet for at dividere viser nogle dokumenter dette trin som multiplicering af hvert element af M med 1 / det (M). Matematisk er de ækvivalente.
   reklame

Metode 2 af 3: Formindsk den lineære række for at finde den inverse matrix

1. 

   Føj enhedsmatrixen til den originale matrix. Skriv basismatrixen M, træk en lodret linje til højre for den matrix, og skriv derefter enhedsmatricen til højre for denne linje. På dette tidspunkt har vi en matrix med tre rækker og seks kolonner.
   • Husk at identitetsmatricen er en speciel matrix med alle elementer på hoveddiagonalen, der løber fra øverste venstre hjørne til nederste højre hjørne, lig med 1 og alle elementer i de resterende positioner er lig med nul.

2. 

   Udfør en lineær rækkeeduktion. Målet her er at oprette enhedsmatrixen i venstre del af den nyudvidede matrix. Når du udfører trinreduktionstrinene til venstre, skal du udføre den tilsvarende del til højre - den del, der er din enhedsmatrix.
   • Husk, at rækkeeduktion udføres som en kombination af skalar multiplikation og rækkeaddition eller subtraktion for at isolere individuelle elementer i matrixen.

3. 

   Fortsæt, indtil enhedens matrix er dannet. Fortsæt den lineære reduktion, indtil identitetsmatricen vises (elementer på diagonalen er lig med 1, andre elementer er lig med 0) på venstre del af den udvidede matrix. Når dette trin er nået, er den højre del af den lodrette opdeler den inverse matrix af den oprindelige matrix.

4. 

   Omskriv den inverse matrix. Dupliker elementerne i øjeblikket til højre for den lodrette opdeler, og det er din inverse matrix. reklame

Metode 3 af 3: Find den inverse matrix med lommeregner

1. 

   Vælg en lommeregner, der kan løse matricer. En simpel firefunktionsberegner kan ikke finde den inverse matrix direkte til dig. På grund af matematisk gentagelse kan en avanceret grafregner, såsom Texas Instruments TI-83 eller TI-86, dog reducere dit arbejde at gøre meget.

2. 

   Indtast matrixen i regnemaskinen. Indtast først Matrix-funktionen på din lommeregner ved at trykke på Matrix-tasten, hvis den er tilgængelig på din enhed. Med Texas Instruments-maskinen skal du trykke på 2 Matrix.

3. 

   Vælg undermenuen Rediger. For at få adgang til denne undermenu skal du muligvis bruge piletasterne eller vælge de relevante funktionstaster i øverste række på computertastaturet, afhængigt af dets design.

4. 

   Vælg et navn til din matrix. De fleste lommeregnere er udstyret til at arbejde med 3 til 10 matricer, navngivne bogstaver, A til J. Lad os normalt starte med. Tryk på Enter-tasten for at bekræfte valg af navn.

5. 

   Indtast matrixstørrelsen. Denne artikel fokuserer på 3x3 matricer. Lommeregnere kan dog håndtere større matricer. Indtast antallet af rækker, tryk på Enter, skriv derefter kolonnenummeret, og tryk på Enter.

6. 

   Indtast hvert element i matrixen. En matrix vises på computerskærmen. Hvis du har arbejdet med matrixfunktionen før, vises den matrix, du har arbejdet med før, på skærmen. Markøren markerer det første element i matrixen. Indtast den matrixværdi, du vil løse, og tryk på Enter. Markøren flytter automatisk til det næste element og overskriver eventuelle tidligere værdier.
   • Hvis du vil indtaste negative tal, skal du bruge lommeregnerens negative (-) knap, ikke minus-tasten. Matrixfunktionen læses ikke korrekt.
   • Hvis det er nødvendigt, kan du bruge piletasterne på din lommeregner til at flytte gennem matrixen.

7. 

   Afslut matrixfunktionen. Når du har indtastet hele matrixværdien, skal du trykke på Quit - Exit-tasten (eller 2 Quit, hvis det er nødvendigt). Takket være det forlader du Matrix-funktionen og vender tilbage til lommeregnerens hovedskærm.

8. 

   Brug den inverse tast til at finde den inverse matrix. Åbn først Matrix-funktionen igen, og brug knappen Navne til at vælge det matrixnavn, du brugte til at give din matrix (det kan være). Tryk derefter på regnemaskinens inverse tast ,. Afhængigt af din enhed skal du muligvis bruge knap 2. Skærmen vises. Tryk på Enter, og den inverse matrix vises på din skærm.
   • Brug ikke ^ -knappen på din computer, når du prøver at indtaste A ^ -1 med individuelle klik. Computere forstår ikke denne matematik.
   • Hvis du får en fejlmeddelelse, når du trykker på den inverse tast, er det mere sandsynligt, at din overordnede matrix ikke er reversibel. Måske skal du gå tilbage og være kvalitativ for at afgøre, om det er årsagen til fejlen.

9. 

   Konverter den inverse matrix til det rigtige svar. Det første resultat, der returneres af computeren, vises i decimal. Det er ikke nødvendigvis det "korrekte" svar til de fleste formål. Du skal om nødvendigt konvertere dette decimalsvar til en brøkdel (hvis heldig nok er alle dine resultater heltal. Det er dog meget sjældent).
   • Måske har din lommeregner en funktion, der automatisk konverterer decimaler til brøker. For eksempel, når du bruger TI-86, kan du gå til Math-funktion, vælge Misc og derefter Frac og trykke på Enter. Decimaler repræsenteres automatisk som brøker.
10. De fleste grafregnemaskiner har firkantede parenteser (for TI-84, dvs. 2. + x og 2. + -), der giver dig mulighed for at indtaste en matrix uden at bruge en matrixfunktion. Bemærk: En lommeregner formaterer muligvis ikke en matrix, før enter / equal-tasten er brugt (hvilket betyder, at alt vil være på samme række og ikke meget pænt). reklame

Råd

• Du kan følge disse trin for at finde det inverse af en matrix, der ikke kun indeholder tal, men også variabler, ukendte eller endda algebraiske udtryk.
• Skriv alle trin ned, for det er ekstremt vanskeligt at finde det inverse af en 3x3 matrix ved bare at lave matematik.
• Der er lommeregnerprogrammer, der hjælper dig med at finde inverse matricer, op til og med 30x30 matricer.
• Uanset den anvendte metode skal du kontrollere nøjagtigheden af ​​resultatet ved at gange M med M. Du vil bekræfte, at M * M = M * M = I. Hvor, I er enhedsmatrixen , er sammensat af elementer 1 placeret langs hoveddiagonalen og nuller andre steder. Hvis du ikke får sådanne resultater, skal du have gået galt et eller andet sted.

Advarsel

• Ikke alle 3x3 matricer har inverse matricer. Hvis determinanten er 0, er denne matrix ikke reversibel (Bemærk at i formlen deler vi med det (M). At dividere med nul er en udefineret matematikhandling).