Indhold

• At træde

En trigonometrisk ligning er en ligning med en eller flere trigonometriske funktioner i den variable trigonometriske kurve x. Løsning af x betyder at finde værdierne for de trigonometriske kurver, hvis trigonometriske funktioner får den trigonometriske ligning til at være sand.

• Svar eller værdier for løsningskurverne udtrykkes i grader eller radianer. Eksempler:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 grader; x = 37,12 grader; x = 178,37 grader

• Bemærk: På enhedscirklen er de trigonometriske funktioner for en hvilken som helst kurve lig med de trigonometriske funktioner for den tilsvarende vinkel. Enhedscirklen definerer alle trigonometriske funktioner i den variable kurve x. Det bruges også som bevis til løsning af grundlæggende trigonometriske ligninger og uligheder.
• Eksempler på trigonometriske ligninger:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tan x + barneseng x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Enhedens cirkel.
   • Dette er en cirkel med Radius = 1, hvor O er oprindelsen. Enhedscirklen definerer 4 primære trigonometriske funktioner for den variable kurve x, som cirkler den mod uret.
   • Når kurven med værdien x varierer på enhedens cirkel, så holder den:
   • Den vandrette akse OAx definerer den trigonometriske funktion f (x) = cos x.
   • Den lodrette akse OBy definerer den trigonometriske funktion f (x) = sin x.
   • Den lodrette akse AT definerer den trigonometriske funktion f (x) = tan x.
   • Den vandrette akse BU definerer den trigonometriske funktion f (x) = barneseng x.

• Enhedscirklen bruges også til at løse grundlæggende trigonometriske ligninger og standard trigonometriske uligheder ved at overveje de forskellige positioner for kurven x på cirklen.

At træde

1. Forstå løsningsmetoden.
   • For at løse en trigonometrisk ligning konverterer du den til en eller flere grundlæggende trigonometriske ligninger. Løsning af trigonometriske ligninger resulterer i sidste ende i løsning af 4 grundlæggende trigonometriske ligninger.
2. Vide, hvordan man løser grundlæggende trigonometriske ligninger.
   • Der er 4 grundlæggende trigonometriske ligninger:
   • sin x = a; cos x = a
   • tan x = a; barneseng x = a
   • Du kan løse de grundlæggende trigonometriske ligninger ved at studere de forskellige positioner for kurven x på den trigonometriske cirkel og ved hjælp af en trigonometrisk konverteringstabel (eller lommeregner). For at forstå fuldt ud, hvordan man løser disse og lignende grundlæggende trigonometriske ligninger, skal du læse følgende bog: "Trigonometri: Løsning af trigonometriske ligninger og uligheder" (Amazon E-bog 2010).
   • Eksempel 1. Løs for sin x = 0,866. Konverteringstabellen (eller lommeregner) giver svaret: x = Pi / 3. Den trigonometriske cirkel giver en anden kurve (2Pi / 3) med samme værdi for sinus (0,866). Den trigonometriske cirkel giver også et uendeligt antal svar kaldet udvidede svar.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi, og x2 = 2Pi / 3. (Svar inden for en periode (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi, og x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Detaljerede svar).
   • Eksempel 2. Løs: cos x = -1/2. Lommeregnere giver x = 2 Pi / 3. Den trigonometriske cirkel giver også x = -2Pi / 3.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi, og x2 = - 2Pi / 3. (Svar til periode (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi, og x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Udvidede svar)
   • Eksempel 3. Løs: tan (x - Pi / 4) = 0.
   • x = Pi / 4; (Svar)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Udvidet svar)
   • Eksempel 4. Løs: barneseng 2x = 1.732. Regnemaskiner og den trigonometriske cirkel giver:
   • x = Pi / 12; (Svar)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Udvidede svar)
3. Lær de transformationer, der bruges til at løse trigonometriske ligninger.
   • For at konvertere en given trigonometrisk ligning til standard trigonometriske ligninger skal du bruge standard algebraiske konverteringer (faktorisering, fælles faktor, polynomer ...), definitioner og egenskaber for trigonometriske funktioner og trigonometriske identiteter. Der er ca. 31, hvoraf 14 er trigonometriske identiteter, fra 19 til 31, også kaldet transformationsidentiteter, fordi de bruges til konvertering af trigonometriske ligninger. Se ovenstående bog.
   • Eksempel 5: Den trigonometriske ligning: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 kan konverteres til et produkt af grundlæggende trigonometriske ligninger ved hjælp af trigonometriske identiteter: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. De grundlæggende trigonometriske ligninger, der skal løses, er: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; og cos (x / 2) = 0.
4. Find de kurver, som de trigonometriske funktioner er kendt for.
   • Inden du kan lære at løse trigonometriske ligninger, skal du vide, hvordan du hurtigt finder de kurver, som de trigonometriske funktioner er kendt for. Konverteringsværdier for kurver (eller vinkler) kan bestemmes med trigonometriske tabeller eller lommeregneren.
   • Eksempel: Løs for cos x = 0,732. Lommeregneren giver løsningen x = 42,95 grader. Enhedscirklen giver andre kurver med samme værdi for cosinus.
5. Tegn svarbuen på enhedens cirkel.
   • Du kan oprette en graf for at illustrere løsningen på enhedens cirkel. Slutpunkterne for disse kurver er regelmæssige polygoner på den trigonometriske cirkel. Nogle eksempler:
   • Slutpunkterne for kurven x = Pi / 3 + k. Pi / 2 er en firkant på enhedens cirkel.
   • Kurverne for x = Pi / 4 + k.Pi / 3 er repræsenteret af koordinaterne for en sekskant på enhedens cirkel.
6. Lær hvordan du løser trigonometriske ligninger.
   • Hvis den givne trigonometriske ligning kun indeholder en trigonometrisk funktion, skal du løse den som en standard trigonometrisk ligning. Hvis den givne ligning indeholder to eller flere trigonometriske funktioner, er der to løsningsmetoder afhængigt af mulighederne for at konvertere ligningen.
     • A. Metode 1.
   • Konverter den trigonometriske ligning til et produkt med formen: f (x) .g (x) = 0 eller f (x) .g (x). H (x) = 0, hvor f (x), g (x) og h (x) er grundlæggende trigonometriske ligninger.
   • Eksempel 6. Løs: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Opløsning. Udskift sin 2x i ligningen ved hjælp af identiteten: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Løs derefter 2 standard trigonometriske funktioner: cos x = 0 og (sin x + 1) = 0.
   • Eksempel 7. Løs: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Løsning: Konverter dette til et produkt ved hjælp af de trigonometriske identiteter: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Løs nu de 2 grundlæggende trigonometriske ligninger: cos 2x = 0 og (2cos x + 1) = 0.
   • Eksempel 8. Løs: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • Løsning: Konverter dette til et produkt ved hjælp af de trigonometriske identiteter: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Løs nu de 2 grundlæggende trigonometriske ligninger: cos 2x = 0 og (2sin x + 1) = 0.
     • B. Fremgangsmåde 2.
   • Konverterer trig-ligningen til en trig-ligning med kun en unik trig-funktion som en variabel. Der er nogle tip til, hvordan man vælger en passende variabel. Almindelige variabler er: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t og tan (x / 2) = t.
   • Eksempel 9. Løs: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • Opløsning. I ligningen skal du erstatte (cos ^ 2x) med (1 - sin ^ 2x) og forenkle ligningen:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Brug nu sin x = t. Ligningen bliver: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Dette er en kvadratisk ligning med 2 rødder: t1 = -1 og t2 = 9/5. Vi kan afvise det andet t2, fordi> 1. Løs nu for: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • Eksempel 10. Løs: tan x + 2 tan ^ 2 x = barneseng x + 2.
   • Opløsning. Brug tan x = t. Konverter den givne ligning til en ligning med t som en variabel: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Løs for t fra dette produkt, og løs derefter den standard trigonometriske ligning tan x = t for x.
7. Løs specielle trigonometriske ligninger.
   • Der er et par specielle trigonometriske ligninger, der kræver nogle specifikke konverteringer. Eksempler:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Lær de periodiske egenskaber ved trigonometriske funktioner.
   • Alle trigonometriske funktioner er periodiske, hvilket betyder, at de vender tilbage til den samme værdi efter en rotation over en periode. Eksempler:
     • Funktionen f (x) = sin x har 2Pi som en periode.
     • Funktionen f (x) = tan x har Pi som en periode.
     • Funktionen f (x) = sin 2x har Pi som en periode.
     • Funktionen f (x) = cos (x / 2) har 4Pi som periode.
   • Hvis perioden er specificeret i øvelserne / testen, skal du bare finde kurven (e) x inden for denne periode.
   • BEMÆRK: Det er vanskeligt at løse trigonometriske ligninger og ofte føre til fejl og fejl. Derfor skal svarene kontrolleres omhyggeligt. Efter løsning kan du kontrollere svarene ved hjælp af en grafregner for en direkte repræsentation af den givne trigonometriske ligning R (x) = 0. Svarene (som kvadratrode) gives decimaler. Som et eksempel har Pi en værdi på 3,14