Indhold

• At træde
• Del 1 af 3: Forstå at "deling" er umulig
• Del 2 af 3: Invertering af matrixen
• Del 3 af 3: Multiplicer matricerne for at fuldføre problemet
• Tips
• Advarsler

Hvis du ved, hvordan du multiplicerer to matricer, er du godt på vej til at være i stand til at "dele" en matrix med en anden matrix. Deling er i anførselstegn, fordi matricer ikke kan deles teknisk. I stedet multiplicerer vi den ene matrix med omvendt fra en anden matrix. Disse beregninger bruges ofte til at løse systemer med lineære ligninger.

At træde

Del 1 af 3: Forstå at "deling" er umulig

1. Forstå hvad "opdeling" af en matrix er. Teknisk set er der ikke sådan noget som matrixinddeling. Deling af arrays er ikke en defineret funktion. Den nærmeste ting er at gange med det inverse af en anden matrix. Med andre ord, selvom [A] ÷ [B] ikke er defineret, kan du løse problemet [A] * [B]. Da disse to ligninger svarer til skalarer, føles dette som en matrixinddeling, men det er vigtigt at bruge den korrekte terminologi.
   • Bemærk, at [A] * [B] og [B] * [A] ikke er det samme problem. Du skal muligvis løse begge dele for at finde alle mulige svar.
   • For eksempel i stedet for ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$Kontroller, at "divisormatrixen" er firkantet. For at kunne bestemme en matrixs invers, skal den være en firkantet matrix, så med det samme antal rækker og kolonner. Hvis den matrix, du vil invertere, ikke er en firkantet matrix, er der ingen unik løsning på problemet.
     • Udtrykket "divisormatrix" er noget løst, fordi det ikke rigtig er et underproblem. For [A] * [B] henviser dette til matrix [B]. I vores eksempel er dette ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$Kontroller, om de to matricer kan multipliceres sammen. For at kunne multiplicere to matricer skal antallet af kolonner i den første matrix være lig med antallet af rækker i den anden matrix. Hvis dette ikke fungerer i begge tilfælde ([A] * [B] eller [B] * [A]), er der ingen løsning på problemet.
       • For eksempel, hvis [A] er en matrix på 4 x 3 (4 rækker, 3 kolonner) og [B] en matrix på 2 x 2 (2 rækker, 2 kolonner), er der ingen løsning. [A] * [B] virker ikke, fordi 3 ≠ 2, og [B] * [A] fungerer ikke, fordi 2 ≠ 4.
       • Ved, at den omvendte [B] altid har det samme antal rækker og kolonner som den oprindelige matrix [B]. Det er ikke nødvendigt at beregne det inverse for at gennemføre dette trin.
       • I vores eksempelproblem er begge matricer 2x2, så de kan ganges i enhver rækkefølge.
     • Find determinanten for en 2 x 2 matrix. Der er en anden påkrævet kontrol, før du kan bestemme den inverse af en matrix. Matrixens determinant kan ikke være nul. Hvis determinanten er nul, har matrixen ingen invers. Sådan bestemmer du determinanten i det enkleste tilfælde (2 x 2-matrixen):
       • 2 x 2 matrix: matrixens determinant ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$Find determinanten for en større matrix. Hvis din matrix er 3 x 3 eller større, er der brug for noget mere arbejde for at bestemme determinanten:
         • 3 x 3 matrix: Vælg et element og kryds den række og kolonne, det tilhører. Find determinanten for den resterende 2 x 2 matrix, gang med det valgte element, og hold en matrixtegnetabel til bestemmelse af tegnet. Gentag for de to andre elementer i samme række og kolonne som den første, du valgte, og tilføj derefter alle tre determinanter. Læs denne artikel for trinvise instruktioner og tip til, hvordan du gør dette hurtigere.
         • Større matricer: Det anbefales at bruge en grafregner eller software. Metoden er den samme som for en 3 x 3 matrix, men det tager meget tid, hvis du gør dette manuelt. For eksempel for at finde determinanten af ​​en 4 x 4 matrix, skal du først finde determinanterne for fire 3 x 3 matricer.
       • Blive ved. Hvis din matrix ikke er en firkant, eller hvis dens determinant er nul, skal du skrive den som "ikke en unik løsning." Problemet er afsluttet. Hvis matrixen er en firkant, og dens determinant ikke er nul, skal du fortsætte med den næste del til næste trin: bestemmelse af den inverse.

Del 2 af 3: Invertering af matrixen

1. Byt placeringen af ​​elementerne i 2 x 2 hoveddiagonalen. Hvis du har at gøre med en 2 x 2 matrix, kan du bruge en genvej til at gøre denne beregning meget lettere. Det første trin i denne hurtige løsning er at bytte det øverste venstre element med det nederste højre element. For eksempel:
   • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$Tag det modsatte af de to andre elementer, men lad dem være i den position. Multiplicer med andre ord den øverste dommer og bund venstreelementer med -1:
     • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$Tag det gensidige af determinanten. Du fandt determinanten for denne matrix i afsnittet ovenfor, så der er ingen grund til at genberegne den. Skriv bare den gensidige af 1 / (determinant) ned:
       • I vores eksempel er determinanten 13. Den gensidige af dette er ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$Multiplicer den nye matrix med det gensidige af determinanten. Multiplicer hvert element i den nye matrix med det gensidige, du lige har fundet. Den resulterende matrix er den omvendte af 2 × 2-matrixen:
         • ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$Bekræft, at det omvendte er korrekt. For at kontrollere dit arbejde skal du multiplicere det inverse med den originale matrix. Hvis det omvendte er korrekt, er deres produkt altid matrixens identitet, ${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$Find matrixinversionen af ​​en 3 x 3 matrix eller større. Medmindre du er ny i denne proces, kan du spare dig selv meget tid ved at bruge en grafregner eller matematiksoftware med større matricer. Hvis du skal beregne det manuelt, er her et hurtigt resumé af en metode, du kan bruge:
           • Tilføj identitetsmatrix I til højre side af din matrix. For eksempel [B] → [B | JEG]. Identitetsmatricen har "1" -elementer langs hoveddiagonalen og "0" -elementer i alle andre positioner.
           • Foretag rækkeedigeringer for at reducere matrixen, indtil venstre side er i række echelonform, og fortsæt med at reducere, indtil venstre side er identitetsmatrixen.
           • Når hele operationen er afsluttet, vil din matrix være i form [I | B]. Med andre ord vil højre side være den omvendte af den oprindelige matrix.

Del 3 af 3: Multiplicer matricerne for at fuldføre problemet

1. Skriv ned begge mulige ligninger. I "almindelig matematik" med skalarer er multiplikation kommutativ; 2 x 6 = 6 x 2. Dette gælder ikke for matricer, så du bliver muligvis nødt til at løse to problemer:
   • [A] * [B] er løsningen x for problem x[B] = [A].
   • [B] * [A] er løsningen x til problem [B]x = [A].
   • Hvis dette er en del af en ligning, skal du sørge for at anvende den samme operation på begge sider af ligningen. Hvis [A] = [C], er [B] [A] ikke Samme som [C] [B], fordi [B] er til venstre for [A], men til højre for [C].
2. Bestem dimensionerne på dit svar. Dimensionerne på den endelige matrix er de ydre dimensioner af de to faktorer. Den har det samme antal rækker som den første matrix og det samme antal kolonner som den anden matrix.
   • Vender tilbage til det oprindelige eksempel: begge dele ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 og 26 39 & 13 slut {pmatrix}}}$Bestem værdien af ​​det første element. Se på den linkede artikel for detaljerede instruktioner, eller opdater din viden med dette resume:
     • For at finde række 1, kolonne 1 i [A] [B], find punktproduktet i [A] række 1 og [B] kolonne 1. Så for en matrix på 2 x 2 beregner du ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$Beregn prikproduktet for hver position i din matrix. For eksempel er elementet i position 2,1 prikproduktet i [A] række 2 og [B] kolonne 1. Prøv at udarbejde eksemplet selv. Du skal få følgende svar:
       • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 og 26 39 & 13 slut {pmatrix}} * { begynder {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { start {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 end {pmatrix}}}$
       • Og den anden løsning: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 og 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begynder {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 slut {pmatrix}}}$

Tips

• Du kan dele en matrix med en skalar ved at dividere hvert element i matrixen med skalæren.
  • For eksempel matrixen ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 og 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ divideret med 2 = ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

Advarsler

• Regnemaskiner er ikke altid 100% nøjagtige i matrixberegninger. For eksempel, hvis din lommeregner angiver, at et element har en meget lille værdi (f.eks. 2E), er værdien sandsynligvis nul.