Indhold

• At træde
• Metode 1 af 2: Metode 1: Krydsmultiplikation
• Metode 2 af 2: Metode to: Find det mindste fælles multiplum (LCM) af nævnerne
• Tips

En rationel funktion er en brøkdel med en eller flere variabler i tælleren eller nævneren. En rationel ligning er enhver ligning, der indeholder mindst et rationelt udtryk. Ligesom almindelige algebraiske ligninger kan rationelle udtryk løses ved at anvende den samme operation på begge sider af ligningen, indtil variablen er isoleret til den ene side af ligetegnet. To specielle metoder, krydsmultiplikation og finde det mindst almindelige multiple af nævnerne, er især nyttige til isolering af variabler og løsning af rationelle ligninger.

At træde

Metode 1 af 2: Metode 1: Krydsmultiplikation

1. Om nødvendigt omarrangere ligningen for at sikre, at der er en brøkdel på begge sider af ligetegnet. Krydsmultiplikation er en hurtig metode til løsning af rationelle ligninger. Desværre fungerer denne metode kun for rationelle ligninger, der har nøjagtigt et rationelt udtryk eller brøk på begge sider af lighedstegnet. Hvis dette ikke er tilfældet for din ligning, har du sandsynligvis brug for nogle algebraiske operationer for at få termerne på det rigtige sted.
   • For eksempel kan ligningen (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 let konverteres til den korrekte krydsmultiplikationsform ved at tilføje x / (- 2) til hver side af ligningen, hvilket får det til at resultere ser sådan ud: (x + 3) / 4 = x / (- 2).
     • Husk, at decimaler og heltal kan konverteres til brøker ved at give dem nævneren 1. (x + 3) / 4 - 2,5 = 5 kan for eksempel omskrives som (x + 3) / 4 = 7,5 / 1, hvilket gør det muligt at anvende krydsmultiplikation.
   • Nogle rationelle ligninger kan ikke let konverteres til den korrekte form. I disse tilfælde skal du bruge de metoder, hvor du bruger det mindst almindelige multiplum af nævnerne.
2. Krydsmultiplikation. Krydsmultiplikation betyder simpelthen at multiplicere tælleren for en brøkdel med nævneren for den anden og omvendt. Multiplicer tælleren af ​​brøken til venstre for ligetegnet med brøken til højre. Gentag med tælleren til højre og nævneren af ​​brøkdelen til venstre.
   • Krydsmultiplikation fungerer efter fælles algebraiske principper. Rationelle udtryk og andre fraktioner kan konverteres til almindelige tal ved at gange nævnerne. Dybest set er krydsmultiplikation en praktisk stenografisk måde at multiplicere begge sider af ligningen med begge nævnere af brøkene. Tror du ikke på det? Prøv det - du får vist de samme resultater efter forenkling.
3. Gør de to produkter lige til hinanden. Efter krydsmultiplikation har du to produkter tilbage. Gør disse to udtryk ens og forenkle dem for at få de enkleste termer på hver side af ligningen.
   • For eksempel, hvis (x + 3) / 4 = x / (- 2) var dit oprindelige rationelle udtryk, bliver det efter krydsmultiplikation lig med -2 ​​(x + 3) = 4x. Dette kan eventuelt omskrives som -2x - 6 = 4x.
4. Løs til variablen. Brug algebraiske operationer til at finde værdien af ​​variablen i ligningen. Husk, at hvis x vises på begge sider af lighedstegnet, skal du ved at tilføje eller trække et x-udtryk sørge for, at der kun er x-udtryk på den ene side af lighedstegnet.
   • I vores eksempel er det muligt at dele begge sider af ligningen med -2, hvilket giver os x + 3 = -2x. At trække x fra begge sider af ligesteget giver os 3 = -3x. Og endelig deler vi begge sider med -3, får vi -1 = x eller også x = -1. Nu har vi fundet x, der løser vores rationelle ligning.

Metode 2 af 2: Metode to: Find det mindste fælles multiplum (LCM) af nævnerne

1. Forstå, når det at finde det mindst almindelige multipel af nævnere er indlysende. Det mindst almindelige multiple (LCM) af nævnerne kan bruges til at forenkle rationelle ligninger, hvilket gør det muligt at finde værdierne for deres variabler. At finde en LCM er en god idé, hvis den rationelle ligning ikke let kan omskrives til en form, hvor der kun er en brøk eller et rationelt udtryk på hver side af ligetegnet. Til løsning af rationelle ligninger med tre udtryk eller mere er LCM'er et nyttigt værktøj. Men til løsning af rationelle ligninger med kun to udtryk er krydsmultiplikation ofte hurtigere.
2. Undersøg nævneren for hver fraktion. Find det mindste tal, der kan deles med en hvilken som helst nævner. Dette er LCM i din ligning.
   • Nogle gange er det mindst almindelige multiplum - det mindste tal, der er helt deleligt af hver af nævnerne - umiddelbart synlig. For eksempel, hvis dit udtryk ligner x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, er det let at se, at LCM skal være deleligt med 3, 2 og 6 og dermed lig med 6.
   • Men oftere er LCM for en rationel sammenligning slet ikke umiddelbart klar. I disse tilfælde skal du prøve multipla af den største nævneren, indtil du finder et tal, der inkluderer multipla af de andre, mindre nævnere. LCM er ofte et produkt af to nævnere. Tag f.eks. Ligningen x / 8 + 2/6 = (x - 3) / 9, hvor LCM er lig med 8 * 9 = 72.
   • Hvis en eller flere nævnere indeholder en variabel, vil denne proces være noget vanskeligere, men den er på ingen måde umulig. I disse tilfælde er LCM et udtryk (med variabler), der fuldt ud passer til alle nævnere, ikke kun et enkelt tal. Som et eksempel er ligningen 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x), hvor LCM er lig med 3x (x-1), fordi den er fuldstændig delelig med en hvilken som helst nævner - divideret med (x- 1 ) giver 3x, divideret med 3x udbytter (x-1) og division med x giver 3 (x-1).
3. Multiplicer hver brøkdel i den rationelle ligning med 1. Multiplikation af hvert udtryk med 1 kan virke ubrugeligt, men der er et trick her. 1 kan nemlig skrives som en brøkdel - f.eks. 2/2 og 3/3. Multiplicer hver brøk i din rationelle ligning med 1, skriv 1 hver gang som antallet eller udtrykket ganget med hver nævneren for at give LCM som en brøkdel.
   • I vores eksempel kan vi gange x / 3 med 2/2 for at få 2x / 6 og gange 1/2 med 3/3 for at få 3/6. 3x +1/6 har allerede en 6 (lcm) som nævneren, så vi kan gange det med 1/1 eller bare lade det være.
   • I vores eksempel med variabler i nævnerne er hele processen lidt mere kompliceret. Da LCM er lig med 3x (x-1), multiplicerer vi hvert rationelt udtryk med en brøkdel, der giver 3x (x-1) som nævneren. Vi ganger 5 / (x-1) med (3x) / (3x) og dette giver 5 (3x) / (3x) (x-1), vi ganger 1 / x med 3 (x-1) / 3 (x -1) og dette giver 3 (x-1) / 3x (x-1), og vi ganger 2 / (3x) med (x-1) / (x-1), og dette giver endelig 2 (x-1) / 3x (x-1).
4. Forenkle og løse x. Nu hvor hvert udtryk i din rationelle ligning har den samme nævner, er det muligt at fjerne nævneren fra ligningen og løse tællerne. Multiplicer blot begge sider af ligningen med LCM for at slippe for nævnerne, så du kun har tællerne. Nu er det blevet en regelmæssig ligning, som du kan løse for variablen ved at isolere den på den ene side af ligetegnet.
   • I vores eksempel får vi efter multiplikation ved at bruge 1 som en brøk, 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. To fraktioner kan tilføjes, hvis de har den samme nævner, så vi kan skrive denne ligning som (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6 uden at ændre dens værdi. Multiplicer begge sider med 6 for at annullere nævnerne, hvilket efterlader 2x + 3 = 3x + 1. Her trækkes 1 fra begge sider for at efterlade 2x + 2 = 3x og trækkes 2x fra begge sider for at efterlade 2 = x, som derefter også kan skrives som x = 2.
   • I vores eksempel med variabler i nævnerne er ligningen efter multiplicering af hvert udtryk med "1" lig med 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 ( x-1) / 3x (x-1). Multiplikation af hvert udtryk med LCM gør det muligt at annullere nævnerne, hvilket nu giver os 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Yderligere uddybet bliver dette 15x = 3x - 3 + 2x -2, hvilket kan forenkles igen som 15x = x - 5. At trække x fra begge sider giver 14x = -5, så det endelige svar kan forenkles til x = - 5/14.

Tips

• Når du har fundet værdien af ​​variablen, skal du kontrollere dit svar ved at indtaste denne værdi i den oprindelige ligning. Hvis du får værdien af ​​variablen til højre, skal du være i stand til at forenkle ligningen til et simpelt, korrekt sætning, såsom 1 = 1.
• Hver ligning kan skrives som et rationelt udtryk; placer det bare som tæller over nævneren 1. Så ligningen x + 3 kan skrives som (x + 3) / 1, begge har samme værdi.