Indhold

• Trin
• Del 1 af 3: Factoring binomials
• Del 2 af 3: Faktorisering af binomier til løsning af ligninger
• Del 3 af 3: Løsning af komplekse problemer
• Tips
• Advarsler

Et binomial (binomial) er et matematisk udtryk med to termer, mellem hvilke der er et plus- eller minustegn, f.eks. ${ displaystyle ax + b}$... Det første medlem inkluderer variablen, og det andet inkluderer eller inkluderer det ikke. Factoring af et binomium indebærer at finde termer, der, når de multipliceres, producerer det originale binomial for at løse eller forenkle det.

Trin

Del 1 af 3: Factoring binomials

1. 1 Forstå det grundlæggende i factoring -processen. Ved faktorisering af et binomium tages den faktor, der er en divisor for hvert udtryk i det originale binomial, ud af beslaget. For eksempel er tallet 6 fuldstændigt deleligt med 1, 2, 3, 6. Således er delerne af tallet 6 tallene 1, 2, 3, 6.
   • Delere 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • Delerne af et hvilket som helst tal er 1 og selve tallet. For eksempel er divisorer på 3 1 og 3.
   • Heltalsdelere kan kun være heltal. Tallet 32 ​​kan divideres med 3.564 eller 21.4952, men du får ikke et helt tal, men en decimal brøk.
2. 2 Bestil vilkårene i binomiet for at lette factoringprocessen. Et binomial er summen eller forskellen på to udtryk, hvoraf mindst en indeholder en variabel. Nogle gange hæves variabler til en effekt, f.eks. ${ displaystyle x ^ {2}}$ eller ${ displaystyle 5y ^ {4}}$... Det er bedre at bestille ordene i binomiet i stigende rækkefølge af eksponenter, det vil sige, at udtrykket med den mindste eksponent skrives først, og med den største - den sidste. For eksempel:
   • ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • Læg mærke til minustegnet foran 2. Hvis et udtryk trækkes fra, skal du skrive et minustegn foran det.
3. 3 Find den største fælles divisor (GCD) af begge udtryk. GCD er det største antal, som begge medlemmer af binomien er delelige med. For at gøre dette skal du finde delerne af hvert udtryk i binomiet og derefter vælge den største fælles divisor. For eksempel:
   • En opgave:${ displaystyle 3t + 6}$.
     • Delere 3: 1, 3
     • Delere 6: 1, 2, 3, 6.
     • GCD = 3.
4. 4 Opdel hvert udtryk i binomiet med Greatest Common Divisor (GCD). Gør dette for at udregne GCD. Bemærk, at hvert medlem af binomiet falder (fordi det er delbart), men hvis GCD er udelukket fra parentesen, vil det sidste udtryk være lig med det originale.
   • En opgave:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Find GCD: 3
   • Opdel hvert binomisk udtryk med gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Flyt divisoren ud af parenteserne. Tidligere delte du begge termer i binomiet med divisoren 3 og fik ${ displaystyle t + 2}$... Men du kan ikke slippe af med 3 - for at værdierne for de første og sidste udtryk skal være ens, skal du sætte 3 uden for parenteserne og skrive det udtryk, der er opnået som et resultat af opdeling i parentes. For eksempel:
   • En opgave:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Find GCD: 3
   • Opdel hvert binomisk udtryk med gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Multiplicer divisoren med det resulterende udtryk:${ displaystyle 3 (t + 2)}$
   • Svar: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
6. 6 Tjek dit svar. For at gøre dette skal du gange termen før parenteserne med hvert udtryk inde i parenteserne. Hvis du får det originale binomial, er løsningen korrekt. Løs nu problemet ${ displaystyle 12t + 18}$:
   • Bestil medlemmerne:${ displaystyle 18 + 12t}$
   • Find GCD:${ displaystyle 6}$
   • Opdel hvert binomisk udtryk med gcd:${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Multiplicer divisoren med det resulterende udtryk:${ displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • Tjek svaret:${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

Del 2 af 3: Faktorisering af binomier til løsning af ligninger

1. 1 Faktor binomialet for at forenkle det og løse ligningen. Ved første øjekast synes det umuligt at løse nogle ligninger (især med komplekse binomier). Løs f.eks. Ligningen ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$... Der er kræfter i denne ligning, så faktor udtrykket først.
   • En opgave:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Husk, at et binomial har to medlemmer. Hvis udtrykket indeholder flere termer, kan du lære at løse polynomier.
2. 2 Tilføj eller træk noget monomial til begge sider af ligningen, så nul forbliver på den ene side af ligningen. I tilfælde af faktorisering er løsningen på ligninger baseret på den uforanderlige kendsgerning, at ethvert udtryk ganget med nul er lig med nul. Derfor, hvis vi sidestiller ligningen til nul, skal enhver af dens faktorer være lig med nul. Indstil den ene side af ligningen til 0.
   • En opgave:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Indstil til nul:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 Faktoriser den resulterende beholder. Gør dette som beskrevet i det foregående afsnit. Find den største fælles faktor (GCD), del begge termer i binomiet med det, og flyt derefter faktoren ud af parentesen.
   • En opgave:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Indstil til nul:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • Faktor:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Sæt hver faktor til nul. I det resulterende udtryk multipliceres 2y med 4 - y, og dette produkt er lig med nul. Da ethvert udtryk (eller udtryk) ganget med nul er nul, så er 2y eller 4 - y 0. Sæt det resulterende monomiale og binomiale til nul for at finde "y".
   • En opgave:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Indstil til nul:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Faktor:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • Indstil begge faktorer til 0:
     • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 Løs de resulterende ligninger for at finde det endelige svar (eller svar). Da hver faktor svarer til nul, kan ligningen have flere løsninger. I vores eksempel:
   • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Tjek dit svar. For at gøre dette skal du erstatte de fundne værdier i den oprindelige ligning. Hvis ligestillingen er sand, er beslutningen korrekt. Erstat de fundne værdier i stedet for "y". I vores eksempel er y = 0 og y = 4:
   • ${ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ displaystyle 0 = 0}$Dette er den rigtige beslutning
   • ${ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ displaystyle 20-32 = -12}$
     • ${ displaystyle -12 = -12}$Og det er den rigtige beslutning

Del 3 af 3: Løsning af komplekse problemer

1. 1 Husk, at et udtryk med en variabel også kan faktoriseres, selvom variablen hæves til en effekt. Ved factoring skal du finde et monomial, der deler hvert medlem af binomialet integralt. For eksempel det monomiale ${ displaystyle x ^ {4}}$ kan faktoriseres ${ displaystyle x * x * x * x}$... Det vil sige, at hvis det andet udtryk i binomiet også indeholder variablen "x", kan "x" tages ud af parenteserne. Behandl således variabler som heltal. For eksempel:
   • Begge medlemmer af kammeret ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ indeholder "t", så "t" kan tages ud af parentesen: ${ displaystyle t (2 + t)}$
   • En variabel, der er hævet til en effekt, kan også tages ud af beslaget. For eksempel begge medlemmer af binomiet ${ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ indeholde ${ displaystyle x ^ {2}}$, altså ${ displaystyle x ^ {2}}$ kan tages ud af beslaget: ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Tilføj eller træk lignende udtryk for at få et binomial. For eksempel givet udtrykket ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... Ved første øjekast er dette et polynom, men faktisk kan dette udtryk konverteres til et binomium. Tilføj lignende udtryk: 6 og 14 (indeholder ikke en variabel) og 2x og 3x (indeholder den samme variabel "x"). I dette tilfælde vil factoringprocessen blive forenklet:
   • Oprindeligt udtryk:${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Bestil medlemmerne:${ displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Tilføj lignende udtryk:${ displaystyle 5x + 20}$
   • Find GCD:${ displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
   • Faktor:${ displaystyle 5 (x + 4)}$
3. 3 Faktor forskellen mellem perfekte firkanter. En perfekt firkant er et tal, hvis kvadratrod f.eks. Er et helt tal ${ displaystyle 9}$${ displaystyle (3 * 3)}$, ${ displaystyle x ^ {2}}$${ displaystyle (x * x)}$ og endda ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ displaystyle (12t * 12t)}$... Hvis binomiet er forskellen på perfekte firkanter, f.eks. ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, så faktoriseres det af formlen:
   • Forskel på kvadrater formel:${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
   • En opgave:${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • Uddrag kvadratrødderne:
     • ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Erstat de fundne værdier i formlen: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4. 4 Faktor forskellen mellem de komplette terninger. Hvis binomien er forskellen på komplette terninger, f.eks. ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, så faktoriseres det ved hjælp af en særlig formel. I dette tilfælde er det nødvendigt at ekstrahere termeroden fra hvert medlem af binomiet og erstatte de fundne værdier i formlen.
   • Formlen for forskellen mellem terninger:${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • En opgave:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Ekstrakt kubiske rødder:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Erstat de fundne værdier i formlen: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Faktor summen af ​​de fulde terninger. I modsætning til summen af ​​perfekte firkanter er summen af ​​komplette terninger f.eks. ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, kan faktoriseres ved hjælp af en særlig formel. Det ligner formlen for forskellen mellem terninger, men tegnene er vendt. Formlen er ganske enkel - for at bruge den, find summen af ​​hele terninger i problemet.
   • Formlen for summen af ​​terninger:${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • En opgave:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Ekstrakt kubiske rødder:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Erstat de fundne værdier i formlen: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Tips

• Nogle gange har binomiske medlemmer ikke en fælles skiller. I nogle opgaver præsenteres medlemmerne i en forenklet form.
• Hvis du ikke kan finde GCD med det samme, skal du starte med at dividere med små tal. For eksempel, hvis du ikke kan se, at GCD med tallene 32 og 16 er 16, dividerer du begge tal med 2. Du får 16 og 8; disse tal kan divideres med 8. Nu får du 2 og 1; disse tal kan ikke reduceres. Således er det indlysende, at der er et større tal (sammenlignet med 8 og 2), som er den fælles divisor for de to givne tal.
• Bemærk, at ord fra sjette orden (med en eksponent på 6, for eksempel x) både er perfekte firkanter og perfekte terninger. Således kan man på binomier med sjetteordensbetegnelser, for eksempel x - 64, anvende (i en hvilken som helst rækkefølge) formlerne til forskellen på firkanter og forskellen på terninger. Men det er bedre at først anvende formlen for kvadraters forskel for mere korrekt at dekomponere med et binomium.

Advarsler

• Et binomial, som er summen af ​​perfekte firkanter, kan ikke faktoriseres.