Indhold

• At træde
• Metode 1 af 3: Bestem området ved hjælp af siderne og apotemet
• Metode 2 af 3: Bestemmelse af området ved hjælp af en sidelængde
• Metode 3 af 3: Brug af en formel
• Tips

En femkant er en polygon med fem lige sider. Næsten alle de problemer, du vil støde på i matematikklassen, vil involvere regelmæssige femhøjder med fem lige sider. Der er to almindelige måder at beregne området på, afhængigt af hvor mange oplysninger du har.

At træde

Metode 1 af 3: Bestem området ved hjælp af siderne og apotemet

1. Start med længden af ​​siden og apotemet. Denne metode fungerer for regelmæssige pentagoner med fem lige sider. Ud over sidelængden har du brug for pentagonens "apotem". Apotemet er linjen fra pentagonens centrum til en side, der skærer siden vinkelret (dvs. i en vinkel på 90 °).
   • Forveks ikke apotemet med polygonens radius, fordi det skærer en vinkel (toppunkt) i stedet for et punkt i midten af ​​siden. Hvis du kun kender længden på den ene side og radius, skal du gå videre til den næste metode.
   • Vi bruger en femkant med siden som et eksempel 3 og apotem 2.
2. Opdel femkant i fem trekanter. Tegn fem linjer fra midten af ​​femkant, der hver fører til et toppunkt (hjørne). Du har nu fem trekanter.
3. Beregn arealet af en trekant. Hver trekant har en grundlag lig med siden af ​​femkanten. Det har også en højde hvilket er lig med apotemet. (Husk, højden på en trekant er længden af ​​den side, der er vinkelret på basen og løber til et toppunkt). For at beregne arealet af en trekant skal du bruge ½ x base x højde.
   • I vores eksempel er arealet af trekanten = ½ x 3 x 2 =3.
4. Multiplicer med fem for det samlede areal af femkant. Vi har delt femkanten i fem lige store trekanter. For at beregne det samlede areal skal du multiplicere arealet af en trekant med fem.
   • I vores eksempel er A (total af femkanten) = 5 x A (trekant) = 5 x 3 =15.

Metode 2 af 3: Bestemmelse af området ved hjælp af en sidelængde

1. Start med længden af ​​den ene side. Denne metode fungerer kun for almindelige pentagoner, som har fem lige store sider.
   • I dette eksempel bruger vi en femkant med længde 7 for hver side.
2. Opdel femkant i fem trekanter. Tegn en linje fra pentagonens centrum til et toppunkt. Gentag dette for hvert toppunkt. Du har nu fem trekanter, der hver har samme størrelse.
3. Del en trekant i halvdelen. Tegn en linje fra femkantens centrum til bunden af ​​en trekant. Denne linje skal krydse basen i en ret vinkel (90º), som deler trekanten i to ens, mindre trekanter.
4. Mærk en af ​​de mindre trekanter. Vi kan allerede mærke en side og en vinkel på den mindre trekant:
   • Det grundlag af trekanten er ½ gange siden af ​​femkanten. I vores eksempel er dette ½ x 7 = 3,5 enheder.
   • Det vinkel i midten af ​​femkanten er altid 36º. (Hvis man antager 360 º for en fuld cirkel, kan du dele dette i 10 mindre trekanter. 360 ÷ 10 = 36, så vinklen på en sådan trekant er 36 º).
5. Beregn højden på trekanten. Det højde siden af ​​denne trekant er vinkelret på den side af femkant, der fører til midten. Vi bruger simpel trigonometri til at bestemme længden af ​​denne side:
   • I en ret trekant er tangent af en vinkel lig med længden af ​​den modsatte side divideret med længden af ​​den tilstødende side.
   • Den side modsat 36º-vinklen er bunden af ​​trekanten (halvdelen af ​​femkantens side). Den tilstødende side af 36 ° vinklen er trekants højde.
   • tan (36º) = modsat / tilstødende
   • I vores eksempel er tan (36º) = 3,5 / højde
   • højde x tan (36º) = 3,5
   • højde = 3,5 / tan (36º)
   • højde = (ca.) 4,8 .
6. Beregn arealet af trekanten. Arealet af en trekant er lig med ½ base x dens højde. (A = ½bh.) Nu hvor du kender højden, skal du indtaste disse værdier for at bestemme højden på din lille trekant.
   • I vores eksempel er arealet af en af ​​de små trekanter = ½bh = ½ (3.5) (4.8) = 8.4.
7. Multiplicer for at finde arealet af femkant. En af disse mindre trekanter dækker 1/10 af femkantens areal. For det samlede areal skal du multiplicere arealet af den mindre trekant med 10.
   • I vores eksempel er arealet af hele femkant = 8,4 x 10 =84.

Metode 3 af 3: Brug af en formel

1. Brug omridset og apotemet. Apotemet er en linje fra midten af ​​en femkant, der krydser den ene side vinkelret. Hvis længden er angivet, kan du bruge denne enkle formel.
   • Areal af en almindelig femkant =far / 2, hvor s= omkredsen og -en= apotemet.
   • Hvis du ikke kender omkredsen, skal du beregne den ved hjælp af sidelængden: p = 5s, hvor s er længden af ​​siden.
2. Brug sidelængden. Hvis du kun kender længden på siderne, skal du bruge følgende formel:
   • Areal af en almindelig femkant = (5s ) / (4tan (36º)), hvor s= længde på den ene side.
   • tan (36º) = √ (5-2√5). Hvis din lommeregner ikke har en brunfarvet funktion, skal du bruge formlen for området: Areal = (5s) / (4√(5-2√5)).
3. Vælg en formel, der kun bruger radius. Du kan endda finde området, hvis du kun kender radius. Brug følgende formel:
   • Arealet af en almindelig femkant = (5/2)rsynd (72º), hvor r radius er.

Tips

• Uregelmæssige pentagoner eller pentagoner med ulige sider er sværere at studere. Den bedste tilgang er normalt at opdele femkanten i trekanter og tilføje områderne til alle trekanterne. Det kan også være nødvendigt at tegne en større form omkring femkanten, beregne dens areal og derefter trække arealet af det ekstra rum.
• Brug om muligt både en geometrisk metode og en formel, og sammenlign resultaterne for at kontrollere dit svar. Svarene kan være lidt anderledes, hvis du udfylder formlen helt på én gang (fordi de trin, hvor du er færdig, mangler), men de skal være meget tæt på hinanden.
• Eksemplerne her bruger afrundede værdier for at gøre deres matematik lettere. Hvis du har en ægte polygon med de givne sidelængder, får du lidt forskellige resultater for de andre længder og området.
• Formlerne er afledt af geometriske metoder svarende til dem, der er beskrevet her. Prøv at finde ud af, hvordan du selv udleder dem. Radiusformlen er sværere at udlede end de andre (tip: du har brug for dobbeltvinkelidentiteten).