Sådan opdeles matricer

Video.: Lecture 17 - MDPs & Value/Policy Iteration | Stanford CS229: Machine Learning (Autumn 2018)

Indhold

Kort opsummering
Trin
Del 1 af 3: Test af matricers delbarhed
Del 2 af 3: Find den omvendte matrix
Del 3 af 3: Matrixmultiplikation
Tips
Advarsler
Yderligere artikler

Hvis du ved, hvordan du multiplicerer to matricer, kan du begynde at "dele" matricerne. Ordet "division" er omsluttet af anførselstegn, fordi matricer faktisk ikke kan deles. Opdelingsoperationen erstattes af operationen med at multiplicere en matrix med en matrix, der er inversen af den anden matrix. For enkelheds skyld overveje et eksempel med heltal: 10 ÷ 5. Find det gensidige af 5: 5 eller /₅, og erstat derefter division med multiplikation: 10 x 5; resultatet af division og multiplikation vil være det samme. Derfor menes det, at division kan erstattes af multiplikation med den inverse matrix. Typisk bruges sådanne beregninger til at løse systemer med lineære ligninger.

Kort opsummering

Du kan ikke opdele matricer. I stedet for at dividere ganges en matrix med inversen af den anden matrix. "Opdeling" af to matricer [A] ÷ [B] skrives som følger: [A] * [B] eller [B] * [A].
Hvis matrix [B] ikke er firkantet, eller hvis dens determinant er 0, skal du skrive "ingen entydig løsning." Ellers skal du finde determinanten for matrixen [B] og gå til det næste trin.
Find det omvendte: [B].
Multiplicer matricer for at finde [A] * [B] eller [B] * [A]. Husk, at rækkefølgen, hvor matricerne multipliceres, påvirker det endelige resultat (det vil sige, at resultaterne kan variere).

Trin

Del 1 af 3: Test af matricers delbarhed

1 Forstå "opdeling" af matricer. Faktisk kan matricer ikke deles. Der er ikke en sådan matematisk operation som "at dele en matrix med en anden". Division erstattes af at multiplicere en matrix med inversen af den anden matrix. Det vil sige, at notationen [A] ÷ [B] ikke er korrekt, så den erstattes med følgende notation: [A] * [B]. Da begge poster er ækvivalente i tilfælde af skalarværdier, kan vi teoretisk tale om "opdeling" af matricer, men det er stadig bedre at bruge den korrekte terminologi.
- Bemærk, at [A] * [B] og [B] * [A] er forskellige operationer. Det kan være nødvendigt at udføre begge operationer for at finde alle mulige løsninger.
- For eksempel i stedet for ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ Skriv ned ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  Du skal muligvis beregne ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$ for at få et andet resultat.
2 Sørg for, at matrixen, du “deler” den anden matrix med, er firkantet. For at vende en matrix (find inversen af en matrix) skal den være firkantet, det vil sige med det samme antal rækker og kolonner. Hvis den inverterede matrix ikke er invers, er der ingen bestemt løsning.
- Igen er matricerne ikke "delelige" her. I drift [A] * [B] refererer den beskrevne tilstand til matrixen [B]. I vores eksempel refererer denne betingelse til matricen ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
- En matrix, der kan vendes, kaldes ikke-degenereret eller regelmæssig. En matrix, der ikke kan vendes, kaldes degenereret eller ental.
3 Kontroller, om de to matricer kan multipliceres. For at gange to matricer skal antallet af kolonner i den første matrix være lig med antallet af rækker i den anden matrix. Hvis denne betingelse ikke er opfyldt i posten [A] * [B] eller [B] * [A], er der ingen løsning.
- For eksempel, hvis størrelsen på matrixen [A] er 4 x 3, og størrelsen på matrixen [B] er 2 x 2, er der ingen løsning. Du kan ikke gange [A] * [B] fordi 4 ≠ 2, og du kan ikke gange [B] * [A] fordi 2 ≠ 3.
- Bemærk, at den inverse matrix [B] altid har samme antal rækker og kolonner som den originale matrix [B]. Det er ikke nødvendigt at finde den inverse matrix for at kontrollere, at to matricer kan multipliceres.
- I vores eksempel er størrelsen på begge matricer 2 x 2, så de kan multipliceres i enhver rækkefølge.
4 Find determinanten for 2 × 2 matrixen. Husk: du kan kun invertere en matrix, hvis dens determinant ikke er nul (ellers kan du ikke invertere matrixen). Sådan finder du determinanten for en 2 x 2 matrix:
- 2 x 2 Matrix: determinant for en matrix ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ er lig med ad - bc. Det vil sige fra produktet af elementerne i hoveddiagonalen (passerer gennem det øverste venstre og nederste højre hjørne), træk produkterne fra elementerne i den anden diagonal (passerer gennem det øverste højre og nederste venstre hjørne).
- For eksempel matrixens determinant ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ er lig med (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. Determinanten er nul, så denne matrix kan vendes.
5 Find determinanten for den større matrix. Hvis matrixens størrelse er 3 x 3 eller mere, er determinanten lidt sværere at beregne.
- 3 x 3 matrix: vælg et element, og streg den række og kolonne, det er i.Find determinanten for den resulterende 2 × 2 matrix, og multiplicér den derefter med det valgte element; angiv tegnet på determinanten i en særlig tabel. Gentag denne proces for de to andre elementer, der er i samme række eller kolonne som det element, du valgte. Find derefter summen af de modtagne (tre) determinanter. Læs denne artikel for mere information om, hvordan du finder determinanten for en 3 x 3 matrix.
- Store matricer: determinanten for sådanne matricer søges bedst med en grafisk lommeregner eller software. Metoden ligner metoden til at finde determinanten for en 3 × 3 matrix, men det er ret kedeligt at anvende den manuelt. For eksempel, for at finde determinanten for en 4 x 4 matrix, skal du finde determinanterne for fire 3 x 3 matricer.
6 Fortsæt beregningerne. Hvis matrixen ikke er firkantet, eller hvis dens determinant er lig med nul, skal du skrive "ingen entydig løsning", det vil sige, at beregningsprocessen er afsluttet. Hvis matrixen er firkantet og har en nul -determinant, skal du springe til næste afsnit.

Del 2 af 3: Find den omvendte matrix

1 Skift elementerne i hoveddiagonalen i 2 x 2 matrixen. Ved en 2 × 2 matrix skal du bruge metoden til hurtig invers. Skift først elementet øverst til venstre og elementet nederst til højre. For eksempel:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
- Bemærk: de fleste mennesker bruger regnemaskiner til at vende en 3 x 3 (eller større) matrix. Hvis du har brug for at gøre dette manuelt, skal du gå til slutningen af dette afsnit.
2 Skift ikke de resterende to elementer, men skift deres tegn. Det vil sige, at elementet øverst til højre og elementet nederst til venstre multipliceres med -1:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3 Find det gensidige af determinanten. Determinanten for denne matrix blev fundet i det foregående afsnit, så vi vil ikke beregne det igen. Det omvendte for determinanten skrives som følger: 1 / (determinant):
- I vores eksempel er determinanten 13. Omvendt værdi: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 Multiplicer den resulterende matrix med det reciprokke af determinanten. Gang hvert element i den nye matrix med det inverse af determinanten. Den sidste matrix vil være omvendt af den originale 2 x 2 matrix:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} og { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} og { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$
5 Kontroller, at beregningerne er korrekte. For at gøre dette skal du gange den originale matrix med dens inverse. Hvis beregningerne er korrekte, giver produktet af den originale matrix ved invers identitetsmatrixen: (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}... Hvis testen lykkedes, skal du fortsætte til næste afsnit.
- I vores eksempel: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} og { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} og { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$ .
- For mere information om, hvordan man multiplicerer matricer, læs denne artikel.
- Bemærk: driften af matrixmultiplikation er ikke kommutativ, det vil sige rækkefølgen af matricerne er vigtig. Men når den oprindelige matrix ganges med dens inverse, fører enhver rækkefølge til identitetsmatricen.
6 Find det inverse af en 3 x 3 matrix (eller større). Hvis du allerede kender denne proces, er det bedre at bruge en grafregner eller speciel software. Hvis du skal finde den inverse matrix manuelt, beskrives processen kort nedenfor:
- Deltag i identitetsmatrix I på højre side af den originale matrix. For eksempel [B] → [B | JEG]. For identitetsmatricen er alle elementer i hoveddiagonalen lig med 1, og alle andre elementer er lig med 0.
- Forenkle matricen, så dens venstre side bliver trinvis; fortsæt med at forenkle, så venstre side bliver identitetsmatrixen.
- Efter forenkling vil matricen have følgende form: [I | B]. Det vil sige, at dens højre side er den omvendte af den originale matrix.

Del 3 af 3: Matrixmultiplikation

1 Skriv to mulige udtryk ned. Operationen med at gange to skalarer er kommutativ, det vil sige 2 x 6 = 6 x 2.Dette er ikke tilfældet i tilfælde af matrixmultiplikation, så du skal muligvis løse to udtryk:
- x = [A] * [B] er løsningen på ligningen x[B] = [A].
- x = [B] * [A] er løsningen på ligning [B]x = [A].
- Udfør hver matematikoperation på begge sider af ligningen. Hvis [A] = [C] så [B] [A] ≠ [C] [B] fordi [B] er til venstre for [A], men til højre for [C].
2 Bestem størrelsen af den endelige matrix. Størrelsen af den endelige matrix afhænger af størrelsen af de multiplicerede matricer. Antallet af rækker i den endelige matrix er lig med antallet af rækker i den første matrix, og antallet af kolonner i den sidste matrix er lig med antallet af kolonner i den anden matrix.
- I vores eksempel er størrelsen på begge matricer ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ og ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} og { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} og { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$ er 2 x 2, så størrelsen på den originale matrix vil være 2 x 2.
- Overvej et mere komplekst eksempel: hvis matrixens størrelse [A] er 4 x 3, og størrelsen af matrixen [B] er 3 x 3, så vil den sidste matrix [A] * [B] være 4 x 3.
3 Find værdien af det første element. Læs denne artikel, eller husk følgende grundlæggende trin:
- For at finde det første element (første række, første kolonne) i den endelige matrix [A] [B], skal du beregne prikproduktet af elementerne i den første række af matrix [A] og elementerne i den første kolonne i matrix [B ]. I tilfælde af en 2 x 2 matrix beregnes punktproduktet som følger: ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- I vores eksempel: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} og { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} og { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$ ... Således vil det første element i den endelige matrix være elementet:
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ displaystyle = 3 + -4}$
  ${ displaystyle = -1}$
4 Fortsæt med at beregne prikprodukter for at finde hvert element i den endelige matrix. For eksempel er elementet i den anden række og den første kolonne lig med punktproduktet i den anden række af matrixen [A] og den første kolonne i matrixen [B]. Prøv selv at finde de resterende varer. Du skal få følgende resultater:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} og { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} og { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 end {pmatrix}}}$
- Hvis du skal finde en anden løsning: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} og { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} og { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 slut {pmatrix}}}$

Tips

Matricen kan opdeles i en skalar; for dette er hvert element i matricen delt med en skalar.
- For eksempel hvis matrixen ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ divideret med 2, får du matrixen ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

Advarsler

Regnemaskinen giver ikke altid helt nøjagtige resultater, når det kommer til matrixberegninger. For eksempel, hvis regnemaskinen hævder, at varen er et meget lille tal (f.eks. 2E), er værdien sandsynligvis nul.