Indhold

• At træde
• Del 1 af 3: Grundlæggende analyser
• Del 2 af 3: Forstå derivater
• Del 3 af 3: Forstå integraler
• Tips

Analyse (også kaldet calculus) er en gren af ​​matematik med fokus på grænser, funktioner, derivater, integraler og uendelige serier. Dette emne dækker meget matematik og ligger til grund for mange af de formler og ligninger, der anvendes i fysik og mekanik. Du bliver sandsynligvis nødt til at have haft flere års matematik i gymnasiet for at forstå analyse ordentligt, men denne artikel får dig i gang med at lære at genkende nøglebegreberne samt en bedre forståelse af teorien.

At træde

Del 1 af 3: Grundlæggende analyser

1. Analyse er undersøgelsen af, hvordan tingene ændrer sig. Analyse er en gren af ​​matematik, der undersøger tal og grafer, normalt taget fra data fra den virkelige verden, og forklarer, hvordan de ændres. Selvom dette måske ikke virker meget nyttigt i starten, er analyse en af ​​de mest anvendte grene af matematik. Forestil dig at have værktøjerne til at fortælle dig, hvor hurtigt din virksomhed vokser til enhver tid, eller hvordan du kortlægger et rumskibs forløb, og hvor hurtigt dets brændstof bliver brugt op. Analyse er et vigtigt redskab inden for teknik, økonomi, statistik, kemi og fysik og har bidraget til mange opfindelser og opdagelser.
2. Funktioner er forhold mellem to tal og bruges til at kortlægge forhold. De er regler for forholdet mellem tal, og matematikere bruger dem til at lave grafer. I en funktion har hver input nøjagtigt et resultat. For eksempel: i ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Tænk på begrebet uendelighed. Uendelighed er den konstante gentagelse af en proces. Det er ikke et bestemt sted (du kan ikke gå til uendelig), men snarere et tal eller en lignings opførsel, hvis det gøres for evigt. Dette er vigtigt for at studere forandringer: Det kan være en god idé at vide, hvor hurtigt din bil kører til enhver tid, men er det hvor hurtigt din bil kører i det aktuelle sekund? Millisekund? Nanosekund? Du kan finde uendeligt mindre klumper af tid til at være endnu mere præcise, og det er når analyse kommer ind.
3. Forstå begrebet grænser. En grænse fortæller dig, hvad der sker, når noget nærmer sig uendeligt. Tag tallet 1 og del det med 2. Bliv ved med at dividere med 2 igen og igen. 1 bliver 1/2 og derefter 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 osv. Hver gang tallet bliver mindre og mindre, "tættere på" nul. Men hvor stopper det? Hvor mange gange skal du dele 1 med 2 for at få nul? I stedet for at besvare dette spørgsmål angiver du et i analysen begrænse I dette tilfælde er grænsen.
   • Grænser er de nemmeste at visualisere i en graf - er der for eksempel punkter, som en graf næsten rører ved, men aldrig helt?
   • Grænser kan være antal, uendelige eller endda ikke-eksisterende. For eksempel med tilføjelsessekvensen 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... og dette fortsætter på ubestemt tid, bliver det endelige tal uendeligt stort. Grænsen bliver så uendelig.
4. Gennemgå de essentielle matematiske begreber algebra, trigonometri og det grundlæggende i matematik. Analyse bygger på meget af den matematik, du har lært før. At være godt informeret om alle emner gør det meget nemmere at lære og forstå analyse. Nogle emner at pusse op på er:
   • Algebra. Du skal forstå de forskellige processer og være i stand til at løse ligninger og ligningssystemer med flere variabler. Forstå det grundlæggende i samlinger. Øv dig i at lave grafer.
   • Geometri. Geometri er studiet af former. Du skal have grundlæggende viden om trekanter, rektangler og cirkler og hvordan man beregner ting som omkreds og areal. Forstå vinkler, linjer og koordinater
   • Trigonometri. Trigonometri er den gren af ​​matematik, der beskæftiger sig med egenskaberne af cirkler og højre trekanter. Vide, hvordan man bruger trigonometriske identiteter, grafer, funktioner og inverse trigonometriske funktioner.
5. Køb en grafregner. Analyse er ikke let at forstå uden at se, hvad du laver. Grafregnemaskiner gør funktioner visuelle, så du bedre kan forstå, hvilke ligninger du har at gøre med. Ofte vises grænserne også på skærmen, og derivaterne og funktionerne beregnes automatisk.
   • Mange smartphones og tablets tilbyder i dag billige, men effektive grafiske apps, hvis du ikke vil eller ikke kan købe en grafregner.

Del 2 af 3: Forstå derivater

1. Analyse bruges til at studere "forandring på et bestemt tidspunkt". At vide, hvorfor noget ændrer sig på et nøjagtigt tidspunkt, er kernen i analysen. For eksempel giver analyse dig ikke kun en bils hastighed, men også hvor meget hastigheden ændres på et givet tidspunkt. Dette er en af ​​de enkleste anvendelser af analyse, men meget vigtig. Forestil dig, hvor vigtig sådan information er for at bestemme den hastighed, det tager at få et rumskib til månen!
   • At bestemme ændring på et bestemt tidspunkt har differentiere. Differentiering er den første af de to store analysegrener.
2. Brug derivater til at forstå, hvordan tingene ændrer sig på et givet tidspunkt. Et "afledt" er et godt ord for noget, der ofte gør eleverne nervøse. Imidlertid er selve konceptet ikke så svært at forstå - det betyder bare "hvor hurtigt noget ændrer sig." De derivater, som du vil støde mest på i hverdagen, har at gøre med hastighed. Dog kalder du det normalt ikke "afledt af hastighed", men blot "acceleration".
   • Acceleration er et derivat - det fortæller dig, hvor hurtigt noget accelererer eller bremser, eller hvordan dets hastighed ændrer sig.
3. Ved, at ændringshastigheden er lig med hældningen mellem to punkter. Dette er en af ​​de vigtigste opdagelser i analysen. Ændringshastigheden mellem to punkter er lig med hældningen af ​​linjen mellem disse to punkter. Tænk bare på en simpel linje som ligningen ${ displaystyle y = 3x.}$Ved, at du kan bestemme hældningen på buede linjer. Det er relativt let at bestemme hældningen på en lige linje: hvor meget der ændres ${ displaystyle y}$Hvis du vil beregne ændringen mere præcist, skal du sørge for, at punkterne er tættere på hinanden. Jo tættere du vælger de to punkter, jo mere præcist er dit svar. Antag at du vil vide, hvor meget din bil accelererer, når du trykker på speederen. Du ønsker ikke at måle hastighedsændringen mellem dit hus og supermarkedet, men hastighedsændringen fra det øjeblik du ramte speederen. Jo tættere din læsning kommer på det delte sekund, jo mere nøjagtig beregnes din ændring.
   • For eksempel undersøger forskere, hvor hurtigt nogle arter udryddes for at redde dem. Imidlertid dør flere dyr om vinteren end om sommeren, så det er ikke nyttigt at undersøge forandringshastigheden i løbet af året - det er bedre at bestemme forandringshastigheden inden for en mindre periode, f.eks. Fra 1. juli til 1. august.
4. Brug uendeligt korte linjer til at bestemme den "øjeblikkelige ændringshastighed" eller find det afledte. Det er her, analyse ofte bliver lidt forvirrende, men dette er faktisk resultatet af to enkle fakta. Først og fremmest ved du, at hældningen på en linje er lig med hvor hurtigt linjen ændres. For det andet ved du, at jo tættere linjens punkter er på hinanden, jo mere præcis bliver læsningen. Men hvordan finder du forandringshastigheden på et givet punkt, hvis hældningen er forholdet mellem to punkter? Svaret: Du vælger to punkter, der er uendeligt tæt på hinanden.
   • Overvej eksemplet, hvor du fortsætter med at dividere 1 med 2 og dermed få 1/2, 1/4, 1/8 osv. Så til sidst kommer du tæt på nul, og svaret er "næsten nul". Punkterne er så tæt på hinanden, at de er "næsten lige til hinanden". Dette er derivaternes natur.
5. Lær hvordan du bestemmer forskellige derivater. Der er masser af forskellige teknikker til at finde et derivat afhængigt af ligningen, men de fleste af dem giver mening, hvis du har husket det grundlæggende i derivater ovenfor. Alle derivater er en måde at finde hældningen på en "uendelig minimal" linje. Nu hvor du ved mere om derivatteori, er meget af arbejdet med at finde svarene.
6. Find de afledte ligninger til at forudsige ændringshastigheden til enhver tid. Det er nyttigt at bruge derivater til at bestemme ændringshastigheden til enhver tid, men det smukke ved analysen er, at du kan oprette en ny model til enhver funktion. Derivatet af ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Hvis du finder det svært at forstå, så prøv at huske eksempler på afledte virkelige virkninger. Det enkleste eksempel er baseret på hastighed, som omfatter mange forskellige derivater, som vi støder på hver dag. Glem ikke: et derivat er et mål for, hvor hurtigt noget ændrer sig. Tænk på et simpelt eksperiment. Du ruller en marmor på et bord og måler, hvor langt den bevæger sig, og hvor hurtigt hver gang. Forestil dig nu, at den rullende marmor følger en linje på en graf - du bruger derivater til at måle de øjeblikkelige ændringer til enhver tid på den linje.
   • Hvor hurtigt bevæger marmoren sig? Med hvilken hastighed ændrer positionen (eller afledningen) af den bevægelige marmor sig? Vi kalder dette afledte "hastighed".
   • Rul marmor langs en skråning og observer, hvordan hastigheden ændres. Hvad er hastigheden på ændring eller afledt af marmorens hastighed? Dette afledte er det, vi kalder "acceleration".
   • Rul marmor langs et bølget spor, såsom en rutsjebane. I hvilket omfang får marmoren hastighed, når den ruller ned, og i hvilket omfang bremser marmoren op ad bakke? Hvor hurtigt går marmoren nøjagtigt, når den er halvvejs op ad den første bakke? Dette er den øjeblikkelige ændringshastighed eller afledningen af ​​den marmor på det ene specifikke punkt.

Del 3 af 3: Forstå integraler

1. Ved, at du kan bruge analyse til at finde komplekse områder og volumener. Med analyse kan du måle komplekse former, der ellers er vanskelige at måle. Overvej for eksempel det problem, du vil vide, hvor meget vand en lang, uregelmæssigt formet sø indeholder - det er umuligt at måle hver liter vand separat eller at bruge en lineal til at måle formen på søen. Med analyse kan du studere, hvordan søens kanter ændrer sig, og derefter bruge disse oplysninger til at finde ud af, hvor meget vand den indeholder.
   • At lave geometriske modeller og studere volumener integrere. Integreret beregning er den anden vigtige gren af ​​analysen.
2. Ved, at integration er området under en graf. Integration bruges til at måle rummet under en linje, som giver dig mulighed for at bestemme området med mærkelige eller uregelmæssige former. Tag ligningen ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Ved, at du skal vælge et område, der skal integreres. Du kan ikke bare integrere en hel funktion. For eksempel, ${ displaystyle y = x}$Tænk over, hvordan man beregner arealet af et rektangel. Antag at du har en flad linje over en graf, f.eks ${ displaystyle y = 4.}$Ved, at der i integreret beregning tilføjes mange små rektangler for at finde arealet af et område. Når du forstørrer en kurve enormt, ser det ud til at være en lige linje. Du ser dette hver dag - du kan ikke opfatte jordens krumning, fordi du er så tæt på jordens overflade. Integration skaber et uendeligt antal små rektangler under en kurve, der er så små, at de stort set er flade, så du kan tælle dem. Alle disse rektangler tilsammen danner arealet af området under en kurve.
   • Antag at du tilføjer mange små segmenter under grafen, og det er bredden på hvert segment næsten er nul.
3. Lær hvordan man læser og nedskriver integraler korrekt. Integraler består af 4 dele. En typisk integral ser sådan ud:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Lær mere om at finde integraler. Integration findes i mange former, og du skal lære mange forskellige formler for at integrere hver funktion. Imidlertid følger de alle de ovenfor skitserede principper: integration er summen af ​​et uendeligt antal ting.
   • Integrer ved erstatning.
   • Beregn ubestemte integraler.
   • Integrer ved at dele.
4. Ved, at integration er det modsatte af differentiering og omvendt. Dette er en tommelfingerregel for analyse, der er så vigtig, at den har fået sit eget navn: Principal Theorem of Integral Calculation.Da integration og differentiering er så nært beslægtede, kan en kombination af de to bruges til at bestemme forandringshastigheden, accelerationen, hastigheden, placeringen, bevægelsen osv., Uanset hvilken information du har.
   • Husk for eksempel, at afledningen af ​​hastigheden er accelerationen, så du kan bruge hastighed til at finde accelerationen. Men hvis du kun kender accelerationen af ​​noget (såsom genstande, der falder på grund af tyngdekraften), kan du integrere for at genvinde hastigheden!
5. Ved, at med integration kan du også kontrollere lydstyrken af ​​3D-objekter. At rotere en flad form er en måde at skabe 3D-faste stoffer på. Forestil dig en mønt, der drejer på bordet - bemærk, hvordan mønten ser ud til at tage form af en kugle, når den drejer. Dette koncept giver dig mulighed for at bestemme lydstyrken i henhold til en proces kendt som "volumen ved rotation".
   • Dette giver dig mulighed for at bestemme lydstyrken for ethvert fast stof, så længe du har en funktion, der repræsenterer det. For eksempel kan du oprette en funktion, der sporer bunden af ​​en sø og derefter bruge den til at bestemme volumenet af søen, eller hvor meget vand den indeholder.

Tips

• Øvelse gør mester, så gør øvelsesøvelserne i din lærebog - selv dem, som din lærer ikke har givet - og tjek dine svar for at hjælpe dig med at forstå begreberne bedre.
• Hvis du ikke kan finde en løsning, så spørg din lærer.