Indhold

• At træde
• Metode 1 af 2: Rodtrækning med primære faktorer
• Metode 2 af 2: Find kvadratrødder uden lommeregner
• Med lang opdeling
• Forstå proceduren
• Tips
• Advarsler

Før lommeregnerne kom, måtte både studerende og professorer beregne kvadratrødder med pen og papir. Forskellige teknikker blev udviklet på det tidspunkt til at tackle dette undertiden vanskelige job, hvoraf nogle giver et groft skøn, og andre beregner den nøjagtige værdi. Læs videre for at lære, hvordan du finder kvadratroden af ​​et tal i nogle få nemme trin.

At træde

Metode 1 af 2: Rodtrækning med primære faktorer

1. Opdel dit nummer i effektfaktorer. Denne metode bruger faktorernes tal til at finde kvadratroden af ​​et tal (afhængigt af antallet kan det være et nøjagtigt svar eller et skøn). Det faktorer af et givet tal er enhver række af tal, der ganges sammen for at danne det bestemte tal. For eksempel kan du sige, at faktorerne 8 er lig med 2 og 4, fordi 2 × 4 = 8. Perfekte kvadrater på den anden side er heltal, der er produktet af andre heltal. For eksempel er 25, 36 og 49 perfekte firkanter, fordi de er lig med henholdsvis 5, 6 og 7. Anden effektfaktorer, som du vil have forstået, er faktorer, der også er perfekte firkanter. For at finde en kvadratrod ved hjælp af primfaktorer, prøv først at opdele tallet i dets anden effektfaktor.
   • Tag følgende eksempel. Vi finder kvadratroden på 400. Til at begynde med deler vi antallet i effektfaktorer. Da 400 er et multiplum af 100, ved vi, at det er jævnt deleligt med 25 - en perfekt firkant. Hurtig rote fortæller os, at 400/25 = 16,16 tilfældigvis også er en perfekt firkant. Så terningsfaktorerne på 400 er 25 og 16 fordi 25 × 16 = 400.
   • Vi skriver dette som: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Tag kvadratrødderne til dine anden magtfaktorer. Produktreglen for kvadratrødder angiver det for et givet nummer -en og b, Kvadrat (a × b) = Kvadrat (a) × Kvadrat (b). På grund af denne egenskab kan vi nu tage kvadratrødderne til kvadratfaktorerne og multiplicere dem sammen for at få svaret.
   • I vores eksempel tager vi kvadratrødderne på 25 og 16. Se nedenfor:
     • Sqrt (25 × 16)
     • Kvadrat (25) × Kvadrat (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Hvis dit nummer ikke kan opgøres perfekt, skal du forenkle det. I virkeligheden er de tal, du vil bestemme kvadratrødderne til, ikke pæne afrundede tal med pæne kvadrater som 400. I disse tilfælde er det muligvis ikke muligt at få et helt tal som svaret. I stedet for ved at bruge alle de effektfaktorer, du kan finde, kan du bestemme svaret som en mindre, lettere at bruge kvadratroden. Du gør dette ved at reducere antallet til en kombination af effektfaktorer og andre faktorer og derefter forenkle det.
   • Vi tager kvadratroden af ​​147 som et eksempel. 147 er ikke et produkt af to perfekte firkanter, så vi kan ikke få en pæn heltalværdi. Men det er produktet af en perfekt firkant og et andet tal - 49 og 3. Vi kan bruge denne information til at skrive vores svar i de enkleste termer:
     • Sqrt (147)
     • = Kvadrat (49 × 3)
     • = Kvadrat (49) × Kvadrat (3)
     • = 7 × Kvadrat (3)
4. Forenkle om nødvendigt. Ved at bruge kvadratroden i de enkleste termer er det normalt ret let at få et groft skøn over svaret ved at estimere de resterende kvadratrødder og multiplicere dem. En måde at forbedre dine gæt på er at finde de perfekte firkanter på hver side af tallet i din firkantrod. Du ved, at decimalværdien af ​​tallet i din kvadratrode er et sted imellem disse to tal, så dit gæt bliver også nødt til at være mellem disse tal.
   • Lad os vende tilbage til vores eksempel. Da 2 = 4 og 1 = 1, ved vi, at Sqrt (3) er mellem 1 og 2 - sandsynligvis tættere på 2 end 1. Vi estimerer, at 1,7. 7 × 1,7 = 11,9. Hvis vi kontrollerer dette med lommeregneren, ser vi, at vi er ret tæt på svaret: 12,13.
     • Dette fungerer også for de større tal. For eksempel er sqrt (35) omtrent mellem 5 og 6 (sandsynligvis tættere på 6). 5 = 25 og 6 = 36,35 er mellem 25 og 36, så kvadratroden vil være mellem 5 og 6. Da 35 er lige under 36, kan vi med en vis tillid sige, at kvadratroden af ​​den lige er mindre end 6. Kontrol med en lommeregner giver os et svar på ca. 5,92 - vi havde ret.
5. Alternativt kan du som et første trin forenkle nummeret til mindst almindelige multiple. Det er ikke nødvendigt at søge efter effektfaktorer, hvis du nemt kan finde primfaktorer for et tal (faktorer, der også er primtal på samme tid). Skriv tallet i form af mindst almindelige multipler. Søg derefter mellem dine faktorer for at matche par med primtal. Når du finder to primære faktorer, der matcher, skal du fjerne dem fra kvadratroden og placere dem -en af disse tal uden for kvadratroden.
   • For eksempel bestemmer vi kvadratroden på 45 ved hjælp af denne metode. Vi ved, at 45 = 9 × 5, og at 9 = 3 × 3. Så vi kan skrive kvadratroden sådan: Sqrt (3 × 3 × 5). Slet bare 3'erne og placer en 3 uden for kvadratroden for at få en forenklet kvadratrode: (3) Kvadrat (5). Nu kan du nemt lave et skøn.
   • Et sidste eksempel; vi bestemmer kvadratroden af ​​88:
     • Sqrt (88)
     • = Kvadrat (2 × 44)
     • = Kvadrat (2 × 4 × 11)
     • = Kvadrat (2 × 2 × 2 × 11). Vi har flere 2'er i vores kvadratrod. Da 2 er prime, kan vi fjerne et par og placere en 2 uden for roden.
     • = Vores kvadratrode er i de enkleste termer (2) Sqrt (2 × 11) eller (2) Kvadrat (2) Kvadrat (11). Nu kan vi nærme os Sqrt (2) og Sqrt (11) og finde et omtrentligt svar, hvis vi ville.

Metode 2 af 2: Find kvadratrødder uden lommeregner

Med lang opdeling

1. Del cifrene i dit nummer i par. Denne metode svarer til lang opdeling, som giver dig mulighed for at opdele eksakt kvadratroden af ​​et tal ciffer for ciffer. Selvom det ikke er vigtigt, kan det gøre løsningen lettere at bryde et nummer i brugbare stykker, især hvis det er langt. Træk først en lodret linje, der deler arbejdsområdet i 2 områder, derefter en kortere linje nær toppen af ​​det rigtige område, idet du deler den i en mindre topdel og en større del nedenunder. Del derefter tallet i par af tal, startende fra decimaltegnet. Under denne regel bliver 79520789182.47897 "7 95 20 78 91 82,47 89 70". Skriv dette nummer øverst til venstre.
   • Lad os som et eksempel beregne kvadratroden på 780.14. Del dit arbejdsområde som ovenfor og skriv "7 80, 14" i øverste venstre hjørne. Det er okay, hvis der kun er et nummer længst til venstre i stedet for to. Du skriver derefter svaret (kvadratroden på 780.14) øverst i det rigtige område.
2. Find det største heltal n hvis firkant er mindre end eller lig med tallet eller nummeret til venstre. Find det største kvadrat, der er mindre end eller lig med dette tal, og find derefter kvadratroden af ​​dette kvadrat. Dette nummer er n. Skriv det øverst til højre og skriv firkanten af ​​n i det nederste kvadrant af området.
   • I vores eksempel er tallet til venstre mest tallet 7. Da vi ved, at 2 = 4 ≤ 7 3 = 9, kan vi sige, at n = 2, fordi dette er det største heltal, hvis kvadrat er mindre end eller lig med 7. Skriv 2 i øverste højre kvadrant. Dette er det første ciffer i svaret. Skriv 4 (firkanten af ​​2) i den nederste højre kvadrant. Dette tal er vigtigt for det næste trin.
3. Træk det antal, du har beregnet af ciffer eller nummer længst til venstre. Som med lang opdeling er det næste trin at trække firkanten fra det tal, vi lige har brugt til beregningen. Skriv dette nummer under nummeret længst til venstre, og træk dem. Skriv svaret nedenfor.
   • I vores eksempel skriver vi en 4 under 7 og trækker den. Dette giver 3 Som svar.
4. Flyt det næste nummer ned. Placer dette ud for den værdi, du fandt i den forrige redigering. Multiplicer tallet øverst til højre med to, og skriv det ned nederst til højre. Lad plads være ved siden af ​​det nummer, du lige har skrevet ned for det beløb, du vil gøre i næste trin. Skriv her "_ × _ =" ".
   • I vores eksempel er det næste tal "80". Skriv "80" ved siden af ​​de 3 i venstre kvadrant. Multiplicer derefter tallet øverst til højre med 2. Dette tal er 2, så 2 × 2 = 4. Skriv "" 4 "" nederst til højre, efterfulgt af _×_=.
5. Indtast tallene til højre. I det tomme rum i summen (højre) skal du indtaste det største heltal, der vil gøre resultatet af multiplikationssummen til højre mindre end eller lig med det aktuelle tal til venstre.
   • I vores eksempel indtaster vi 8, og dette giver 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Dette er større end 380. Så 8 er for stor, men 7 er sandsynligvis ikke. Udfyld 7 og løs: 4 (7) × 7 = 329. 7 er godt, fordi 329 er mindre end 380. Skriv 7 øverst til højre. Dette er det andet ciffer i kvadratroden på 780.14.
6. Træk det nummer, du lige har beregnet, fra det aktuelle nummer til venstre. Så du trækker resultatet af multiplikationen til højre fra det aktuelle svar til venstre. Skriv dit svar direkte under det.
   • I vores eksempel trækker vi 329 fra 380, og dette giver 51 som resultat.
7. Gentag trin 4. Flyt det næste par tal ned fra 780,14. Når du kommer til et komma, skal du skrive det komma i svaret til højre. Multiplicer derefter det øverste højre tal med 2, og skriv svaret ved siden af ​​("_ × _") som ovenfor.
   • I vores svar skriver vi nu et komma, fordi vi også støder på dette i 780.14. Flyt det næste par (14) ned i venstre kvadrant. 27 x 2 = 54, så vi skriver "54 _ × _ =" i nederste højre kvadrant.
8. Gentag trin 5 og 6. Find det største tal, der giver et svar, der er mindre end eller lig med det aktuelle tal til venstre. Løse.
   • I vores eksempel er 549 × 9 = 4941, hvilket er mindre end eller lig med tallet til venstre (5114). 549 × 10 = 5490, hvilket er for højt, så 9 er vores svar. Skriv 9 som det næste øverste højre tal og træk resultatet af multiplikationen fra det venstre tal: 5114 -4941 = 173.
9. For at gøre resultatet nøjagtigt skal du gentage den foregående procedure, indtil du finder svaret med det antal decimaler (hundrededele, tusindedele), du har brug for.

Forstå proceduren

1. Overvej antallet, hvis kvadratrode du vil beregne, som området S på en firkant. Da arealet af en firkant er L, hvor L er længden af ​​en af ​​dens sider, så ved at finde kvadratroden af ​​dit nummer, prøver du at beregne længden L på siden af ​​det kvadrat.
2. Giv hvert ciffer i dit svar et bogstav. Indtast variablen A som det første ciffer i L (kvadratroden, vi prøver at beregne). B er det andet ciffer, C det tredje osv.
3. Giv et bogstav til hvert "par af tal" af det nummer, du starter med. Giv variablen S_-en til det første par cifre i S (den oprindelige værdi), S._b til det andet par cifre osv.
4. Forstå forholdet mellem denne metode og lang opdeling. Denne metode til at finde en kvadratrod er i det væsentlige en lang opdeling, hvor du dividerer den oprindelige værdi med dens kvadratrod og "giver" kvadratroden som svaret. Som med lang division, hvor du kun er interesseret i det næste ciffer ad gangen, er du kun interesseret i de næste to cifre ad gangen (som svarer til det næste ciffer i kvadratroden).
5. Find det største tal, hvis firkant er mindre end eller lig med S._-en er. Det første ciffer A i vores svar er så det største heltal, hvis firkant ikke er større end S._-en (A sådan at A² ≤ Sa (A + 1) ²). I vores eksempel, S_-en = 7 og 2² ≤ 7 3², så A = 2.
   • Bemærk, at hvis du deler 88962 med 7 ved hjælp af lang division, er det første trin ens: du behandler først det første ciffer på 88962 (8), og du vil have det største ciffer ganget med 7, der er mindre end eller lig med 8. I det væsentlige bestemme d sådan at 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). I dette tilfælde er d lig med 1.
6. Visualiser den firkant, du vil finde området til. Dit svar, kvadratroden af ​​den oprindelige værdi, er L, der beskriver længden af ​​en firkant med område S (den oprindelige værdi). Værdierne for A, B og C repræsenterer cifrene i værdien L. En anden måde at sige dette på er, at for et 2-cifret svar er 10A + B = L, og for et 3-cifret svar, 100A + 10B + C = L osv.
   • I vores eksempel (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Husk, at 10A + B repræsenterer vores svar L sammen med B i enhedens position og A i positionerne tiere. For eksempel, hvis A = 1 og B = 2, så er 10A + B tallet 12. (10A + B) ² er arealet af hele pladsen, mens 100A² er området for den største indre firkant, B² er området for den mindste firkant og 10A × B er området for hver af de resterende rektangler. Gennem denne lange, komplicerede procedure kan vi finde området for hele firkanten ved at tilføje de områder af kvadraterne og rektanglerne, der er en del af det.
7. Træk A² fra S._-en. Medbring et par tal (S._b) ned fra tallet S. S._-en S._b er næsten det samlede areal på pladsen, hvorfra du lige har trukket området fra den største indre firkant. Resten er f.eks. Antallet N1, som vi opnåede i trin 4 (N1 = 380 i vores eksempel). N1 er lig med 2 × 10A × B + B² (arealet af de to rektangler plus arealet af den lille firkant).
8. Se på N1 = 2 × 10A × B + B², også skrevet som N1 = (2 × 10A + B) × B. I vores eksempel kender du allerede N1 (380) og A (2), så nu skal du finde B. B er sandsynligvis ikke et helt tal, så det bliver du nødt til rent faktisk find det største heltal B, således at (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Så nu har du: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Løs ligningen. For at løse denne ligning skal du gange A med 2, skifte den til ti (gang med 10), sætte B i enhederne og gange resultatet med B. Med andre ord (2 × 10A + B) × B. Dette er nøjagtigt hvad du gør, når du skriver "N_ × _ =" (med N = 2 × A) i nederste højre kvadrant i trin 4. I trin 5 bestemmer du det største heltal B, der passer under linjen, så (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10. Træk området (2 × 10A + B) × B fra det samlede areal. Dette giver området S- (10A + B) ², som du endnu ikke har taget i betragtning (og som du bruger til at beregne følgende tal på samme måde).
11. Gentag proceduren for at beregne det næste ciffer C. Flyt det næste par tal fra S ned (S_c) for at få N2 til venstre og se efter den største C, så du nu har: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (svarer til det dobbelte med det tocifrede tal "AB" fulgt af "_ × _ =" Bestem nu det største antal, du kan indtaste her, hvilket giver dig et svar, der er mindre end eller lig med N2.

Tips

• Ved at flytte kommaet med to steder (en faktor 100) flyttes kommaet i den tilsvarende kvadratrode et sted (en faktor 10).
• I eksemplet kunne 1,73 betragtes som "resten": 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Denne metode fungerer for ethvert talesystem, ikke kun decimalsystemet (decimalsystemet).
• Du er velkommen til at placere beregningerne, hvor du vil. Nogle mennesker skriver det over det tal, de vil beregne kvadratroden af.
• En alternativ metode er følgende: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). For eksempel for at beregne kvadratroden på 780.14 skal du tage det heltal, hvis kvadrat er tættest på 780.14 (28), så = 780.14, x = 28 og y = -3.86. Udfyldning og estimering giver os x + y / (2x), og dette giver (forenklede udtryk) 78207/2800 eller omkring 27.931 (1); det følgende udtryk, 4374188/156607 eller omkring 27.930986 (5). Hvert udtryk tilføjer cirka 3 decimaler af præcision til det forrige.

Advarsler

• Sørg for at opdele antallet i par fra decimaltegnet. Opdeler 79520789182.47897 som "79 52 07 89 18 2,4 78 97 "giver et forkert resultat.