Formulering af matematiske bevis

Indhold

At træde
Metode 1 af 3: Forstå problemet
Metode 2 af 3: Strukturering af et bevis
Metode 3 af 3: Formulering af bevismateriale
Tips

Matematiske beviser kan være vanskelige, men med den rigtige baggrundskendskab til både matematik og strukturen på et bevis kan du helt sikkert formulere dem med succes. Desværre er der ingen hurtig og nem måde at lære at opbygge beviser på. Du har brug for et solidt fundament i din faglige viden for at komme med de korrekte teser og definitioner til logisk udvikling af dit bevismateriale. Ved at læse eksempler og øve dig selv, vil du være i stand til at mestre færdighederne i matematisk korrektur.

At træde

Metode 1 af 3: Forstå problemet

Forstå spørgsmålet. Du skal først bestemme nøjagtigt, hvad det er, du prøver at bevise. Dette spørgsmål vil også tjene som den afsluttende afhandling af beviserne. I dette trin vil du også definere de antagelser, du vil arbejde med. At identificere spørgsmålet og tage de nødvendige antagelser giver dig et udgangspunkt for at forstå problemet og udvikle beviset.
Tegn diagrammer. Når vi prøver at forstå det indre arbejde i et matematisk problem, er det undertiden nemmest at tegne et diagram over, hvad der sker. Diagrammer er især vigtige i geometriske beviser, fordi de giver dig mulighed for at visualisere, hvad du rent faktisk vil bevise.
- Brug oplysningerne i problemet til at tegne et billede af beviset. Navngiv de kendte og fremmede.
- Når du udarbejder bevismaterialet, skal du bruge de nødvendige oplysninger til at understøtte bevismaterialet.
Undersøg bevis for relaterede sætninger. Bevis er svært at lære at konstruere, men en glimrende måde at lære dette på er at studere relaterede udsagn og hvordan de blev bevist.
- Indse, at bevis bare er et godt argument, hvor hvert trin er underbygget. Du kan finde en masse beviser at studere, både online og i en lærebog.
Stil spørgsmål. Det er meget normalt at sidde fast i et bevis. Spørg din lærer eller klassekammerater, hvis du ikke kan finde ud af det. Sidstnævnte kan have lignende spørgsmål, og du kan arbejde sammen om problemerne. Det er bedre at stille spørgsmål og derefter forstå end at vade blindt gennem beviserne.
- Rådfør dig med din lærer efter klassen for yderligere forklaring.

Metode 2 af 3: Strukturering af et bevis

Definer matematiske beviser. Et matematisk bevis er et sæt logiske udsagn understøttet af sætninger og definitioner, der beviser rigtigheden af en anden matematisk sætning. Beviser er den eneste måde at vide, om en påstand er matematisk gyldig.
- At kunne formulere et matematisk bevis indikerer en grundlæggende forståelse af selve problemet og alle de begreber, der er involveret i problemet.
- Bevis tvinger dig også til at se på matematik på en ny og spændende måde. Bare at prøve at bevise noget vil give dig mere viden og indsigt i det, selvom dine beviser ikke synes at være rigtige i sidste ende.
Kend dit publikum. Før du skriver et bevis, skal du tænke på det publikum, du skriver det til, og hvad de allerede ved. Hvis du skriver bevis for en publikation, vil du gøre det anderledes end for en gymnasiumsklasse.
- At kende dit publikum giver dig mulighed for at formulere beviserne på en måde, som det vil forstå i betragtning af mængden af baggrundsviden, publikum har.
Forstå den type bevis, du fremlægger. Der er et par forskellige typer bevis, og den du vælger afhænger af din målgruppe og opgaven. Hvis du er i tvivl om, hvilken version du skal bruge, så spørg din lærer om råd. I gymnasiet kan det forventes, at du formulerer beviserne i et specifikt format, såsom et formelt bevis med to søjler.
- Et bevis på to søjler er en struktur, hvor data og påstande placeres i en søjle og det understøttende bevis ved siden af det i en anden søjle. De bruges meget ofte i geometri.
- Uformel afsnit bevis bruger grammatisk korrekte udsagn og færre symboler. På et højere niveau skal du altid bruge et uformelt bevis.
Skriv beviset i to kolonner som en oversigt. At strukturere et bevis i to kolonner er en nem måde at organisere dine tanker på og overveje problemet. Tegn en linje ned på midten af siden, og skriv alle data og udsagn til venstre. Skriv de tilsvarende definitioner / udsagn til højre ud for de data, de understøtter.
- For eksempel:
- Vinkel A og vinkel B danner et lineært par. Givet.
- Hjørne ABC er lige. Definition af en ret vinkel.
- Vinkel ABC er 180 °. Definition af en linje.
- Vinkel A + vinkel B = vinkel ABC. Postulat til tilføjelse af vinkler.
- Vinkel A + vinkel B = 180 °. Udskiftning.
- Vinkel A som supplement til vinkel B. Definition af yderligere vinkler.
- Q.E.D.
Konverter beviset i to kolonner til et uformelt bevis. Baseret på beviset i to kolonner, skriv et uformelt bevis som et afsnit uden for mange symboler og forkortelser.
- Lad os for eksempel sige, at vinkel A og B er lineære par. Hypotesen er, at vinkel A og vinkel B supplerer hinanden (er supplerende). Vinkel A og vinkel B danner en lige linje, fordi de er lineære par. En lige linje defineres som en vinkel på 180 °. I betragtning af postulatet for tilføjelse af vinkler danner vinklerne A og B sammen linjen ABC. Som substitution er A og B sammen 180 °, derfor er de supplerende vinkler. Q.E.D.

Metode 3 af 3: Formulering af bevismateriale

Lær ordforrådet for matematisk bevis. Der er visse udsagn og sætninger, som du hele tiden ser i et matematisk bevis. Dette er de sætninger, du skal være fortrolig med og være i stand til at bruge godt, når du formulerer dit eget bevis.
- "Hvis A, så B" betyder, at du skal vise, at hvis A er sand, skal B også være sand.
- "A hvis og kun hvis B" betyder, at du skal bevise, at A og B er sande og falske på samme tid. Bevis både "Hvis A, så B" og "hvis ikke A, så ikke B".
- "A kun hvis B" betyder det samme som "Hvis A, så B", så det bruges ikke ofte. Det er godt at være opmærksom på dette, når du støder på det.
- Når du afgiver bevismateriale, bør du undgå at bruge "jeg" til fordel for "vi".
Skriv alle data ned. Når du sammensætter et bevis, er det første trin at identificere og registrere alle data. Dette er det bedste sted at starte, da det hjælper dig med at tænke over, hvad der er kendt, og hvilke oplysninger du har brug for for at færdiggøre beviset. Læs problemet, og skriv hvert stykke information ned.
- For eksempel: Bevis, at to vinkler, der danner et lineært par (vinkel A og vinkel B), er supplerende.
- Givet: vinkel A og vinkel B danner et lineært par
- Bevis: vinkel A supplerer vinkel B.
Definer alle variabler. Ud over at skrive dataene er det nyttigt at definere alle variabler. Skriv definitionerne i begyndelsen af beviset for at undgå forvirring for læseren. Hvis variabler ikke er defineret, kan en læser let gå tabt ved at forstå dine beviser.
- Brug ikke variabler i dit bevis, der endnu ikke er defineret.
- For eksempel: Variabler er målene for vinkel A og vinkel B.
Arbejd baglæns gennem beviserne. Det er ofte nemmest at tænke bagud på et problem. Start med konklusionen, hvad du prøver at bevise, og tænk på de trin, der kan føre dig tilbage til starten.
- Rediger trinene i begyndelsen og slutningen for at se, om de ligner hinanden. Brug de data, definitioner, du har lært, og lignende beviser.
- Stil dig selv spørgsmål undervejs. ”Hvorfor er det sådan?” Og ”Er der nogen måde, det er falsk på?” Er der gode spørgsmål til ethvert udsagn eller krav.
- Glem ikke at skrive trinene i rækkefølge til det endelige bevis.
- For eksempel: Hvis vinklerne A og B er supplerende, skal de sammen være 180 °. De to hjørner danner sammen linjen ABC. Du ved, at de danner en linje på grund af definitionen af lineære par. Da en lige linje er 180 °, kan du bruge erstatning til at bevise, at vinkel A og vinkel B tilføjer op til 180 °.
Placer dine trin i logisk rækkefølge. Start beviserne i starten og arbejd dig op til konklusionen. Selvom det er nyttigt at tænke på beviserne, ved at starte med konklusionen og arbejde baglæns, når du præsenterer den faktiske dokumentation, vil du sætte konklusionen i slutningen. Erklæringerne i beviserne skal strømme fra hinanden med begrundelse for hver erklæring, så der ikke er nogen grund til at tvivle på gyldigheden af dit bevis.
- Start med at angive de antagelser, du arbejder med.
- Opdel dem i enkle og klare trin, så læseren ikke behøver at undre sig over, hvordan et trin logisk flyder fra et andet.
- Det er ikke ualmindeligt at formulere flere bevis for konceptet. Fortsæt med at omarrangere, indtil alle trin er i den mest logiske rækkefølge.
- For eksempel: start i starten.
  - Vinkel A og vinkel B danner et lineært par.
  - Hjørne ABC er lige.
  - Vinkel ABC er 180 °.
  - Vinkel A + vinkel B = vinkel ABC.
  - Vinkel A + vinkel B = 180 °.
  - Vinkel A supplerer vinkel B.
Undgå at bruge pile og forkortelser i den skriftlige dokumentation. Når du skitserer planen for dit bevis, kan du bruge stenografi og symboler, men når du skriver det endelige bevis, kan symboler, såsom pile, forvirre læseren. Brug i stedet ord som "derefter" eller "så".
- Undtagelser fra brug af forkortelser er: f.eks. (For eksempel) og dvs. (dvs.), men sørg for at bruge dem korrekt.
Understøt alle udsagn med en sætning (sætning), lov eller definition. Bevis er kun så god som det anvendte bevis. Du kan ikke afgive en erklæring uden at underbygge den med en definition. Henvis til andre lignende beviser som et eksempel.
- Prøv at anvende dine beviser i en sag, hvor falsk skal være og kontrollere, at dette faktisk er tilfældet. Hvis resultatet ikke er forkert, skal du justere beviset, så det er.
- Mange geometriske beviser er skrevet som et bevis med to søjler med udsagnet og beviset. Et formelt matematisk bevis beregnet til offentliggørelse er skrevet som et afsnit med korrekt grammatik.
Afslut det med en konklusion eller Q.E.D. Den endelige dokumentation skal være den hypotese, du forsøgte at bevise. Når du har fremsat denne erklæring, skal du lukke beviset med et endeligt symbol, såsom Q.E.D. eller en hel firkant for at angive, at beviset er komplet.
- Q.E.D. står for "quod erat demonstrandum" (latin for "det, der skulle bevises").
- Hvis du ikke er sikker på, om dine beviser er korrekte, skal du bare skrive i et par sætninger, hvad din konklusion er, og hvorfor den er vigtig.