Hvordan laver man matematisk bevis

Video.: Step-By-Step Guide to Proofs | Ex: product of two evens is even

Indhold

Trin
Metode 1 af 3: Forstå problemformuleringen
Metode 2 af 3: Formuler beviset
Metode 3 af 3: Skriv beviserne ned
Tips

At finde et matematisk bevis kan være en skræmmende opgave, men at kende matematikken og skrive beviset vil hjælpe dig. Desværre er der ingen hurtige og lette metoder til at lære at løse matematiske problemer. Det er nødvendigt at studere emnet korrekt og huske de grundlæggende sætninger og definitioner, der vil være nyttige for dig, når du beviser et bestemt matematisk postulat. Undersøg eksempler på matematiske beviser og øv dig selv for at hjælpe dig med at forbedre dine færdigheder.

Trin

Metode 1 af 3: Forstå problemformuleringen

1 Bestem, hvad du vil finde. Det første trin er at finde ud af, hvad der præcist skal bevises. Dette vil blandt andet bestemme den sidste erklæring i dit bevis. På dette stadium bør du også gøre visse antagelser, inden for hvilke du vil arbejde. For bedre at forstå problemet og begynde at løse det, find ud af, hvad du har brug for at bevise, og lav de nødvendige antagelser.
2 Tegn en tegning. Når man løser matematiske problemer, er det nogle gange nyttigt at skildre dem i form af et billede eller diagram. Dette er især vigtigt i tilfælde af geometriske problemer - tegningen hjælper med at visualisere tilstanden og letter i høj grad søgen efter en løsning.
- Når du opretter et billede eller diagram, skal du bruge de data, der er angivet i tilstanden. Markér de kendte og ukendte størrelser i figuren.
- Tegningen vil gøre det lettere for dig at finde beviserne.
3 Undersøg beviser for lignende sætninger. Hvis du ikke kan finde en løsning med det samme, skal du finde lignende sætninger og se, hvordan de bevises.
- Bemærk, at du skal begrunde hvert trin i beviset. Se, hvordan forskellige sætninger bevises på Internettet eller i matematiske lærebøger.
4 Stil spørgsmål. Det er okay, hvis du ikke når at finde bevis med det samme.Hvis du er uklar om noget, så spørg din lærer eller klassekammerater om det. Måske har dine kammerater de samme spørgsmål, og du kan løse dem sammen. Det er bedre at stille et par spørgsmål end at prøve og uden held finde beviser igen og igen.
- Gå til læreren efter lektionerne og find ud af uklare spørgsmål.

Metode 2 af 3: Formuler beviset

1 Formuler et matematisk bevis. Et matematisk bevis er en sekvens af udsagn understøttet af sætninger og definitioner, der beviser et matematisk postulat. Beviser er den eneste måde at afgøre, om et udsagn er matematisk korrekt.
- Evnen til at nedskrive matematiske beviser vidner om en dyb forståelse af problemet og mestring af de nødvendige værktøjer (lemmaer, sætninger og definitioner).
- Rigorøst bevis kan hjælpe dig med at se et nyt kig på matematik og få en fornemmelse af dens fascination. Bare prøv at bevise et udsagn for at få en idé om matematiske metoder.
2 Overvej dit publikum. Inden du begynder at registrere beviser, bør du tænke over, hvem det er for og tage hensyn til disse menneskers viden. Hvis du nedskriver beviser for yderligere offentliggørelse i et videnskabeligt tidsskrift, vil det være anderledes end når du udfører en skoleopgave.
- At kende din målgruppe giver dig mulighed for at skrive beviserne ned, mens du træner dine læsere i at forstå det.
3 Bestem typen af bevis. Der er flere typer matematiske beviser, og valget af en bestemt form afhænger af målgruppen og problemet, der skal løses. Hvis du er i tvivl om, hvilken art du skal vælge, skal du kontakte din lærer. I gymnasiet kræves et to-spalte bevis.
- Når du skriver beviser i to kolonner, registrerer den ene de indledende data og udsagn, og den anden - det tilsvarende bevis for disse udsagn. Denne form for notation bruges ofte ved løsning af geometriske problemer.
- På en mindre formel måde at skrive beviser på, bruges grammatisk korrekte konstruktioner og færre symboler. På højere niveauer er dette notationen, der skal bruges.
4 Skits beviset i to kolonner. Denne formular hjælper med at organisere tanker og konsekvent løse problemet. Del siden i to med en lodret linje, og skriv dine originaldata og de udsagn, der følger af den, på venstre side. Skriv de tilsvarende definitioner og sætninger ned på højre side af hver sætning.
- For eksempel:
- hjørner A og B er tilstødende - givet;
- vinkel ABC er flad - definerer et fladt hjørne;
- vinklen ABC er 180 ° - definerer en lige linje;
- vinkel A + vinkel B = vinkel ABC - reglen for tilføjelse af vinkler;
- vinkel A + vinkel B = 180 ° - substitution;
- vinkel A er komplementær til vinkel B - definition af yderligere vinkler;
- Q.E.D.
5 Skriv beviset på to kolonner ned som et uformelt bevis. Brug en tokolonneindgang som grundlag, og skriv beviset i en kortere form med færre symboler og forkortelser.
- For eksempel: Antag, at hjørnerne A og B er tilstødende. Ifølge hypotesen supplerer disse vinkler hinanden. Ved tilstødning danner vinkel A og vinkel B en lige linje. Hvis hjørnets sider danner en lige linje, er vinklen 180 °. Tilføj vinklerne A og B for at oprette en lige linje ABC. Således er summen af vinklerne A og B 180 °, det vil sige, at disse vinkler er komplementære. Q.E.D.

Metode 3 af 3: Skriv beviserne ned

1 Lær bevisets sprog. Standardudtalelser og sætninger bruges til at skrive matematiske beviser. Du skal lære disse sætninger og vide, hvordan du bruger dem.
- Sætningen "Hvis A, så B" betyder, at hvis sætning A er sand, så skal sætning B også være sand.
- "A hvis og kun hvis B" betyder, at udsagn A og B enten er sande eller falske på samme tid. Denne konstruktion svarer til to samtidige udsagn: "Hvis A, så B" og "Hvis A mislykkes, holder B ikke".
- "A kun hvis B" svarer til "Hvis B, så A", så denne konstruktion er ikke almindelig. Ikke desto mindre er det nødvendigt at huske på det.
- Når du registrerer beviser, skal du prøve at bruge "vi" i stedet for det personlige pronomen "jeg".
2 Skriv alle de originale data ned. Når du udarbejder et bevis, er det første, du skal gøre, at definere og skrive alt, hvad der er givet i problemet. I dette tilfælde vil du have alle de indledende data for øjnene, på grundlag af hvilke det er nødvendigt at få en afgørelse. Læs problemformuleringen omhyggeligt, og skriv alt ned, der er givet i den.
- For eksempel: bevis på, at to tilstødende vinkler (vinkel A og vinkel B) supplerer hinanden.
- Givet: tilstødende hjørner A og B.
- Bevis: vinkel A er komplementær til vinkel B.
3 Definer alle variablerne. Ud over at registrere de originale data er det også nyttigt at skrive resten af variablerne ud. For at gøre det lettere for læseren, skriv variablerne ned i begyndelsen af beviset. Hvis der ikke er defineret nogen variabler, kan læseren blive forvirret og ikke forstå dit bevis.
- Brug ikke tidligere udefinerede variabler under bevisningen.
- For eksempel: i ovenstående problem er variablerne værdierne for vinklerne A og B.
4 Prøv at finde beviset i omvendt rækkefølge. Mange problemer er lettere at løse i omvendt rækkefølge. Start med det, du har brug for at bevise, og tænk over, hvordan du kan forbinde konklusionerne med den oprindelige tilstand.
- Læs start- og sluttrinnene igen, og se om de ligner hinanden. Når du gør dette, skal du bruge de indledende betingelser, definitioner og lignende beviser fra andre problemer.
- Stil dig selv spørgsmål og gå videre. For at bevise individuelle udsagn, spørg dig selv: "Hvorfor er dette tilfældet?" - og: "Kan det være forkert?"
- Husk at nedskrive de enkelte trin i rækkefølge, indtil du får det endelige resultat.
- For eksempel: hvis vinklerne A og B er komplementære, skal deres sum være 180 °. Ifølge definitionen af tilstødende vinkler danner vinklerne A og B en lige linje ABC. Da linjen danner en vinkel på 180 °, tilføjes vinklerne A og B op til 180 °.
5 Arranger de enkelte trin i beviset, så det er konsekvent og logisk. Start ved begyndelsen og arbejd dig op til et bevisbart speciale. Selvom det nogle gange er nyttigt at starte i slutningen af din søgning efter beviser, skal du følge den korrekte rækkefølge, når du skriver det. Separate teser bør følge den ene efter den anden, så beviset er logisk og ikke rejser tvivl.
- Overvej først de antagelser, der er gjort.
- Bekræft udsagnene med enkle og enkle trin, så læseren ikke er i tvivl om deres rigtighed.
- Nogle gange skal du omskrive beviset mere end én gang. Fortsæt med at gruppere udsagn og deres beviser, indtil du når frem til den mest logiske struktur.
- For eksempel: lad os starte forfra.
  - Vinklerne A og B støder op til hinanden.
  - Siderne af hjørne ABC danner en lige linje.
  - Vinkel ABC er 180 °.
  - Vinkel A + Vinkel B = Vinkel ABC.
  - Vinkel A + Vinkel B = Vinkel 180 °.
  - Vinkel A er komplementær til vinkel B.
6 Brug ikke pile og forkortelser i beviset. Forskellige forkortelser og symboler kan bruges i kladden, men inkluder dem ikke i det endelige udkast, da dette kan forvirre læserne. Brug i stedet ord som "derfor" og "derefter".
- Som undtagelser er forståelige forkortelser tilladt, for eksempel “dvs. e. " (altså), men brug dem korrekt.
7 Understøt hvert speciale med en sætning, lov eller definition. Beviset skal være fejlfrit. Du kan ikke komme med ubegrundede udsagn. Se, hvordan beviser er bygget til problemer, der ligner dine.
- Prøv at anvende de beviser, du finder, på tilfælde, hvor det ikke burde være sandt, og se om det er tilfældet. Hvis beviset er gyldigt i sådanne tilfælde, skal du kontrollere, hvor du tog fejl.
- Bevis for geometriske problemer er ofte skrevet i to kolonner. Påstande er skrevet til højre, og deres beviser er givet til venstre. På samme tid udarbejdes matematiske beviser i publikationer i form af afsnit med passende grammatik.
8 Afslut beviserne med sætningen "som krævet for at bevise". I slutningen af beviset skal der være et bevisbart speciale. Efter det skal du skrive "hvad der kræves for at bevise" (forkortet "h. Osv." Eller et symbol i form af en fyldt firkant) - det betyder, at beviset er fuldstændigt.
- På latin svarer sætningen "hvad der skulle bevises" til forkortelsen Q.E.D. (quod erat demonstrandum, det vil sige "hvad der skulle vises").
- Hvis du er i tvivl om korrektheden af beviset, skal du bare skrive et par sætninger om, hvilken konklusion du er kommet til, og hvorfor det er vigtigt.