Indhold

• Trin

En trigonometrisk ligning indeholder en eller flere trigonometriske funktioner i variablen "x" (eller en hvilken som helst anden variabel). At løse en trigonometrisk ligning er at finde en sådan værdi "x", der opfylder funktion (erne) og ligningen som helhed.

• Løsninger til trigonometriske ligninger udtrykkes i grader eller radianer. Eksempler:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 grader; x = 37,12 grader; x = 178,37 grader.

• Bemærk: værdierne for trigonometriske funktioner fra vinkler, udtrykt i radianer og fra vinkler, udtrykt i grader, er ens. En trigonometrisk cirkel med en radius lig med en bruges til at beskrive trigonometriske funktioner samt til at kontrollere rigtigheden af ​​løsningen af ​​de grundlæggende trigonometriske ligninger og uligheder.
• Eksempler på trigonometriske ligninger:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. En trigonometrisk cirkel med en radius på en (enhedscirkel).
   • Det er en cirkel med en radius lig med en og midt på punkt O. Enhedscirklen beskriver 4 grundlæggende trigonometriske funktioner i variablen "x", hvor "x" er vinklen målt fra den positive retning af X -aksen mod uret.
   • Hvis "x" er en vinkel på enhedscirklen, så:
   • Den vandrette akse OAx definerer funktionen F (x) = cos x.
   • Den lodrette akse OBy definerer funktionen F (x) = sin x.
   • Den lodrette akse AT definerer funktionen F (x) = tan x.
   • Den vandrette akse BU definerer funktionen F (x) = ctg x.

• Enhedscirklen bruges også til at løse grundlæggende trigonometriske ligninger og uligheder (forskellige positioner af "x" betragtes på den).

Trin

1. 1 Begrebet løsning af trigonometriske ligninger.
   • For at løse en trigonometrisk ligning skal du konvertere den til en eller flere grundlæggende trigonometriske ligninger. At løse en trigonometrisk ligning kommer i sidste ende ned på at løse fire grundlæggende trigonometriske ligninger.
2. 2 Løsning af grundlæggende trigonometriske ligninger.
   • Der er 4 typer grundlæggende trigonometriske ligninger:
   • sin x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • At løse grundlæggende trigonometriske ligninger indebærer at se på de forskellige x -positioner på enhedscirklen og bruge en konverteringstabel (eller lommeregner).
   • Eksempel 1.sin x = 0,866. Ved hjælp af en konverteringstabel (eller lommeregner) får du svaret: x = π / 3. Enhedscirklen giver et andet svar: 2π / 3. Husk: alle trigonometriske funktioner er periodiske, det vil sige, at deres værdier gentages. F.eks. Er periodiciteten af ​​sin x og cos x 2πn, og periodiciteten af ​​tg x og ctg x er πn. Derfor er svaret skrevet således:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • Eksempel 2. cos x = -1/2. Ved hjælp af en konverteringstabel (eller lommeregner) får du svaret: x = 2π / 3. Enhedscirklen giver et andet svar: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • Eksempel 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • Svar: x = π / 4 + πn.
   • Eksempel 4. ctg 2x = 1.732.
   • Svar: x = π / 12 + πn.
3. 3 Transformationer, der bruges til at løse trigonometriske ligninger.
   • For at transformere trigonometriske ligninger bruges algebraiske transformationer (faktorisering, reduktion af homogene udtryk osv.) Og trigonometriske identiteter.
   • Eksempel 5. Ved hjælp af trigonometriske identiteter transformeres ligningen sin x + sin 2x + sin 3x = 0 til ligningen 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Således skal du løse følgende grundlæggende trigonometriske ligninger: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Find vinkler fra kendte værdier af funktioner.
   • Inden du lærer metoder til løsning af trigonometriske ligninger, skal du lære at finde vinkler fra kendte værdier af funktioner. Dette kan gøres ved hjælp af en konverteringstabel eller lommeregner.
   • Eksempel: cos x = 0,732. Lommeregneren giver svaret x = 42,95 grader. Enhedscirklen vil give yderligere vinkler, hvis cosinus også er 0,732.
5. 5 Sæt opløsningen til side på enhedscirklen.
   • Du kan udskyde løsningerne til den trigonometriske ligning på enhedscirklen. Løsningerne af den trigonometriske ligning på enhedscirklen er hjørnerne af en regulær polygon.
   • Eksempel: Løsningerne x = π / 3 + πn / 2 på enhedscirklen er hjørnerne af en firkant.
   • Eksempel: Løsningerne x = π / 4 + πn / 3 på enhedscirklen repræsenterer hjørnerne af en almindelig sekskant.
6. 6 Metoder til løsning af trigonometriske ligninger.
   • Hvis en given trig -ligning kun indeholder en trig -funktion, skal du løse denne ligning som den grundlæggende trig -ligning.Hvis en given ligning indeholder to eller flere trigonometriske funktioner, er der 2 metoder til at løse en sådan ligning (afhængigt af muligheden for dens transformation).
     • Metode 1.
   • Konverter denne ligning til en ligning i formen: f (x) * g (x) * h (x) = 0, hvor f (x), g (x), h (x) er de grundlæggende trigonometriske ligninger.
     
     
   • Eksempel 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Løsning. Brug formlen med dobbelt vinkel sin 2x = 2 * sin x * cos x, erstat sin 2x.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Løs nu de to grundlæggende trigonometriske ligninger: cos x = 0 og (sin x + 1) = 0.
   • Eksempel 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Løsning: Brug trigonometriske identiteter til at omdanne denne ligning til en ligning af formen: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Løs nu de to grundlæggende trigonometriske ligninger: cos 2x = 0 og (2cos x + 1) = 0.
   • Eksempel 8. synd x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Løsning: Brug trigonometriske identiteter til at omdanne denne ligning til en ligning med formlen: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Løs nu de to grundlæggende trigonometriske ligninger: cos 2x = 0 og (2sin x + 1) = 0.
     • Metode 2.
   • Konverter den givne trigonometriske ligning til en ligning, der kun indeholder en trigonometrisk funktion. Udskift derefter denne trigonometriske funktion med nogle ukendte, for eksempel t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t osv.).
   • Eksempel 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Løsning. I denne ligning erstattes (cos ^ 2 x) med (1 - sin ^ 2 x) (efter identitet). Den transformerede ligning er:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Udskift sin x med t. Ligningen ser nu sådan ud: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Dette er en kvadratisk ligning med to rødder: t1 = -1 og t2 = 9/5. Den anden rod t2 opfylder ikke værdiområdet for funktionen (-1 sin x 1). Beslut nu: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • Eksempel 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Løsning. Udskift tg x med t. Omskriv den oprindelige ligning som følger: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Find nu t og find derefter x for t = tg x.
7. 7 Særlige trigonometriske ligninger.
   • Der er flere specielle trigonometriske ligninger, der kræver specifikke transformationer. Eksempler:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 Periodicitet af trigonometriske funktioner.
   • Som tidligere nævnt er alle trigonometriske funktioner periodiske, det vil sige, at deres værdier gentages efter en bestemt periode. Eksempler:
     • Perioden for funktionen f (x) = sin x er 2π.
     • Perioden for funktionen f (x) = tan x er lig med π.
     • Perioden for funktionen f (x) = sin 2x er π.
     • Perioden for funktionen f (x) = cos (x / 2) er 4π.
   • Hvis perioden er angivet i problemet, skal du beregne værdien "x" inden for denne periode.
   • Bemærk: At løse trigonometriske ligninger er ikke en let opgave og fører ofte til fejl. Så tjek dine svar omhyggeligt. For at gøre dette kan du bruge en grafisk lommeregner til at plotte den givne ligning R (x) = 0. I sådanne tilfælde vil løsninger blive præsenteret som decimalfraktioner (det vil sige, π erstattes af 3.14).