Indhold

• Trin
• Tips

Grafen for en kvadratisk ligning med formen ax + bx + c eller a (x - h) + k er en parabel (U -formet kurve). For at tegne en sådan ligning skal du finde parabelens toppunkt, dens retning og skæringspunkter med X- og Y -akserne. Hvis du får en relativt simpel kvadratisk ligning, kan du erstatte forskellige værdier med "x "ind i det, find de tilsvarende værdier for" y "og opbyg en graf ...

Trin

1. 1 Den kvadratiske ligning kan skrives i en standardform og i en ikke-standardform. Du kan bruge enhver form for ligning til at plotte en kvadratisk ligning (plottingsmetoden er lidt anderledes). Som regel er der i problemer givet kvadratiske ligninger i en standardform, men denne artikel fortæller dig om begge typer skrivning af en kvadratisk ligning.
   • Standardform: f (x) = ax + bx + c, hvor a, b, c er reelle tal og a ≠ 0.
     • For eksempel to ligninger af standardformen: f (x) = x + 2x + 1 og f (x) = 9x + 10x -8.
   • Ikke -standardform: f (x) = a (x - h) + k, hvor a, h, k er reelle tal og a ≠ 0.
     • For eksempel to ligninger af en ikke -standardform: f (x) = 9 (x - 4) + 18 og -3 (x - 5) + 1.
   • For at plotte en kvadratisk ligning af enhver art, skal du først finde toppunktet for parabolen, som har koordinater (h, k). Koordinaterne for parabelens toppunkt i standardformens ligninger beregnes af formlerne: h = -b / 2a og k = f (h); koordinaterne for parabelens toppunkt i ligninger af en ikke-standardform kan fås direkte fra ligningerne.
2. 2 For at plotte grafen skal du finde de numeriske værdier for koefficienterne a, b, c (eller a, h, k). I de fleste problemer er kvadratiske ligninger givet med numeriske værdier af koefficienterne.
   • For eksempel i standardligningen f (x) = 2x + 16x + 39 a = 2, b = 16, c = 39.
   • For eksempel i en ikke -standardligning f (x) = 4 (x - 5) + 12, a = 4, h = 5, k = 12.
3. 3 Beregn h i standardligningen (i ikke-standarden er det allerede givet) ved hjælp af formlen: h = -b / 2a.
   • I vores standardligningseksempel er f (x) = 2x + 16x + 39 h = -b / 2a = -16/2 (2) = -4.
   • I vores eksempel på en ikke -standardligning er f (x) = 4 (x - 5) + 12 h = 5.
4. 4 Beregn k i standardligningen (i ikke-standarden er den allerede givet). Husk, at k = f (h), det vil sige, at du kan finde k ved at erstatte fundværdien af ​​h i stedet for "x" i den originale ligning.
   • Du fandt ud af, at h = -4 (for standardligningen). For at beregne k, erstat denne værdi med "x":
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • I en ikke-standardligning er k = 12.
5. 5 Tegn et toppunkt med koordinater (h, k) på koordinatplanet. h er tegnet langs X-aksen og k er tegnet langs Y-aksen. Toppen af ​​en parabel er enten det laveste punkt (hvis parabolen peger opad) eller det højeste punkt (hvis parabolen peger nedad).
   • I vores eksempel på standardligninger har toppunktet koordinater (-4, 7). Tegn dette punkt på koordinatplanet.
   • I vores eksempel på en brugerdefineret ligning har toppunktet koordinater (5, 12). Tegn dette punkt på koordinatplanet.
6. 6 Tegn parabelens symmetriakse (valgfrit). Symmetriaksen passerer gennem parabolens spids parallelt med Y -aksen (det vil sige strengt lodret). Symmetriaksen deler parabolen i halvdelen (det vil sige, at parabolen er spejlsymmetrisk omkring denne akse).
   • I vores eksempel standardligning er symmetriaksen en lige linje parallelt med Y-aksen og passerer gennem punktet (-4, 7). Selvom denne linje ikke er en del af selve parabolen, giver den en ide om parabelens symmetri.
7. 7 Bestem parabolens retning - op eller ned. Dette er meget let at gøre.Hvis koefficienten "a" er positiv, er parabolen rettet opad, og hvis koefficienten "a" er negativ, er parabolen rettet nedad.
   • I vores eksempel på standardligningen, f (x) = 2x + 16x + 39, peger parabolen op, da a = 2 (positiv koefficient).
   • I vores eksempel på en ikke -standardligning f (x) = 4 (x - 5) + 12 er parabolen også rettet opad, da a = 4 (positiv koefficient).
8. 8 Hvis det er nødvendigt, lokaliser og plot x-aflytningen. Disse punkter hjælper dig meget, når du tegner en parabel. Der kan være to, en eller ingen (hvis parabolen er rettet opad, og dens toppunkt ligger over X-aksen, eller hvis parabolen er rettet nedad, og dens toppunkt ligger under X-aksen). For at beregne koordinaterne for skæringspunkterne med X-aksen skal du gøre følgende:
   • Sæt ligningen til nul: f (x) = 0 og løs den. Denne metode fungerer med simple kvadratiske ligninger (især ikke-standardiserede), men kan være ekstremt vanskelig for komplekse ligninger. I vores eksempel:
     • f (x) = 4 (x - 12) - 4
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • √1 = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. Skærmpunkterne for parabolen med X-aksen har koordinater (11,0) og (13,0).
   • Faktor kvadratisk ligning i standardform: ax + bx + c = (dx + e) ​​(fx + g), hvor dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx, e × g = c. Indstil derefter hver binomial til 0 og find værdierne for "x". For eksempel:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • I dette tilfælde er der et enkelt skæringspunkt for parabolen med x-aksen med koordinater (-1,0), fordi ved x + 1 = 0 x = -1.
   • Hvis du ikke kan faktorere ligningen, skal du løse den ved hjælp af den kvadratiske formel: x = (-b +/- √ (b- 4ac)) / 2a.
     • For eksempel: -5x + 1x + 10.
     • x = (-1 +/- √ (1-4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- √ (1 + 200)) /- 10
     • x = (-1 +/- √ (201)) /- 10
     • x = (-1 +/- 14,18) /- 10
     • x = (13,18 / -10) og (-15,18 / -10). Skæringspunkterne for parabolen med X-aksen har koordinater (-1.318,0) og (1.518,0).
     • I vores eksempel er ligningerne i standardformen 2x + 16x + 39:
     • x = (-16 +/- √ (16- 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- √ (256- 312)) / 4
     • x = (-16 +/- √ (-56) /- 10
     • Da det er umuligt at udtrække kvadratroden af ​​et negativt tal, skærer parabolen i dette tilfælde ikke X-aksen.
9. 9 Find og plot y-skæringen efter behov. Det er meget let - sæt x = 0 i den originale ligning og find værdien for "y". Y-skæringen er altid den samme. Bemærk: i ligningsformerne for standardformularen har skæringspunktet koordinater (0, s).
   • For eksempel skærer parabolen i den kvadratiske ligning 2x + 16x + 39 sig med Y-aksen på punktet med koordinater (0, 39), da c = 39. Men dette kan beregnes:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39, det vil sige parabolen for denne kvadratiske ligning skærer Y-aksen ved punktet med koordinater (0, 39).
   • I vores eksempel på en ikke-standardligning 4 (x-5) + 12 beregnes y-afsnittet som følger:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112, det vil sige parabolen for denne kvadratiske ligning skærer Y-aksen ved punktet med koordinater (0, 112).
10. 10 Du har fundet (og afbildet) parabelens toppunkt, dens retning og skæringspunkter med X- og Y -akserne. Du kan bygge paraboler fra disse punkter eller finde og plotte yderligere punkter og først derefter bygge en parabel. For at gøre dette skal du tilslutte flere x -værdier (på hver side af toppunktet) til den oprindelige ligning for at beregne de tilsvarende y -værdier.
    • Lad os vende tilbage til ligningen x + 2x + 1. Du ved allerede, at skæringspunktet for grafen for denne ligning med X-aksen er punktet med koordinater (-1,0). Hvis parabolen kun har et skæringspunkt med X-aksen, så er dette hjørnet af parabolen, der ligger på X-aksen. I dette tilfælde er et punkt ikke nok til at bygge en almindelig parabel. Så find nogle ekstra point.
      • Lad os sige x = 0, x = 1, x = -2, x = -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Punktkoordinater: (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Punktkoordinater: (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Punktkoordinater: (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Punktkoordinater: (-3,4).
      • Tegn disse punkter på koordinatplanet og tegn en parabel (forbind punkterne med en U-kurve). Bemærk, at parabolen er absolut symmetrisk - ethvert punkt på en gren af ​​parabolen kan spejles (i forhold til symmetriaksen) på den anden gren af ​​parabolen. Dette sparer dig tid, da du ikke behøver at beregne koordinaterne for punkterne på begge grene af parabolen.

Tips

• Afrund brøkdele (hvis dette er en lærers krav) - sådan bygger du en korrekt parabel.
• Hvis i f (x) = ax + bx + c koefficienterne b eller c er lig med nul, er der ingen termer med disse koefficienter i ligningen.For eksempel bliver 12x + 0x + 6 12x + 6, fordi 0x er 0.