Indhold

• Trin
• Råd

En kvadratisk ligning er et polynom med en variabel, hvor 2 er den højeste eksponent for den variabel. Der er tre hovedmåder til at løse kvadratiske ligninger: 1) faktor det ned, hvis du kan, 2) brug den kvadratiske formel, eller 3) færdiggøre firkanten. Følg disse trin for at lære, hvordan du bliver dygtig med disse tre metoder.

Trin

Metode 1 af 3: Analyse af ligninger i faktorer

1. 

   Tilføj alle de samme udtryk, og flyt dem til den ene side af ligningen. Det første skridt i faktoranalyse er at sætte alle dets vilkår til siden, så de er positive. For at kombinere termer skal du tilføje eller trække alle termer, alle indeholdende termer og konstanter (udtrykkene er heltal), konvertere dem til den ene side og efterlade intet på den anden side. Du kan derefter skrive "0" på den anden side af ligestillingen. Sådan gør du det:

2. 

   
   
   Analyser udtrykket i faktoren. For at faktorere et udtryk skal du bruge faktorerne i udtrykket, der indeholder (3), og faktorerne for konstanten (-4) for at multiplicere dem og derefter tilføje det til midtertermen (-11). . Sådan gør du det:
   • Da der kun er en mulig faktor, og du kan omskrive den i parentes som denne :.
   • Brug derefter reduktion til at kombinere faktorerne 4 for at finde den kombination, der gør -11x, når den multipliceres. Du kan bruge 4 og 1 eller 2 og 2, fordi de begge har et produkt på 4. Bare husk at en faktor skal være negativ, fordi vores udtryk er -4.
   • Med testmetoden vil vi kontrollere kombinationen af ​​faktorer. Når vi implementerer multiplikation, opnår vi. Tilføj vilkårene, og vi har det er den nøjagtige mellemperiode, vi sigter mod. Så vi har lige faktoriseret den kvadratiske funktion.
   • Lad os som et eksempel på denne test undersøge en defekt (forkert) kombination af: =. Ved at kombinere disse vilkår får vi. Selvom det er rigtigt, at -2 og 2 har produkter svarende til -4, er udtrykket derimellem ikke korrekt, fordi vi har brug for det, ikke.

3. 

   
   
   Lad hvert udtryk i parentes være nul som individuelle ligninger. Find derfra to værdier, der gør den samlede ligning lig med nul = 0. Nu, når du faktorerer ligningen, skal du bare omslutte udtrykket i parentes med nul. Hvorfor? Det er fordi for nul produkt har vi et "princip, lov eller ejendom", at en faktor skal være nul. Derfor skal mindst en værdi i parentes være nul; dvs. (3x + 1) eller (x - 4) skal være nul. Så det har vi enten.

4. 

   
   
   Løs hver af disse "nul" ligninger uafhængigt. Den kvadratiske ligning har to mulige løsninger. Find hver mulig løsning til variablen x ved at adskille variablen og skrive dens to løsninger ned som det endelige resultat. Sådan gør du:
   • Løs 3x + 1 = 0
     • Træk to sider: 3x = -1 .....
     • Opdel siderne: 3x / 3 = -1/3 .....
     • Skjul: x = -1/3 .....
   • Løs x - 4 = 0
     • Træk to sider: x = 4 .....
   • Skriv dine egne mulige løsninger: x = (-1/3, 4) ....., det vil sige x = -1/3 eller x = 4 er begge korrekte.

5. 

   Kontroller x = -1/3 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
   
   I stedet for et udtryk har vi det (3 + 1)( – 4) ?=? 0..... Skjul: (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... Udfør multiplikation, vi får (0) (- 4 1/3) = 0 ..... 0 = 0 ..... Højre, x = -1/3 er en løsning på ligning.

6. 

   Kontroller x = 4 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
   
   I stedet for et udtryk har vi det (3 + 1)( – 4) ?=? 0 ..... Kollaps, vi får: (13) (4 - 4)? =? 0 ..... Udfør multiplikation: (13) (0) = 0 ..... 0 = 0 ..... Højre, x = 4 er en løsning af ligningen.
   • Så begge disse mulige løsninger er blevet "testet" individuelt, og det kan bekræftes, at begge løser problemet og er to separate sande løsninger.
   reklame

Metode 2 af 3: Brug den kvadratiske formel

1. 

   Tilføj alle de samme udtryk, og flyt dem til den ene side af ligningen. Flytter alle termer til den ene side af ligetegnet, så udtrykket indeholder det positive tegn. Omskriv termerne i faldende rækkefølge, hvilket betyder at udtrykket kommer først, efterfulgt af og endelig konstanten. Sådan gør du:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0

2. 

   Skriv din kvadratiske formel ned. Det er:

3. 

   Bestem værdierne for a, b og c i den kvadratiske ligning. Ud -en er koefficienten x, b er koefficienten for x og c er en konstant. Med ligningen 3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5, og c = -8. Skriv venligst på papir.

4. 

   Sæt værdierne for a, b og c i ligningen. Nu hvor du kender værdierne for de tre variabler ovenfor, kan du sætte dem i ligningen på denne måde:
   • {-b +/- √ (b - 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)

5. 

   Udfør beregninger. Når du har erstattet tallene, skal du udføre resten af ​​beregningen for at reducere de positive eller negative tegn, gang eller kvadratere de resterende termer. Sådan gør du:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6

6. 

   Skjul kvadratroden. Hvis der under det radikale tegn er en perfekt firkant, får du et heltal. Hvis det ikke er et perfekt kvadrat, skal du reducere det til sin enkleste radikale form. Hvis det er negativt, og du er sikker på, at det skal være negativt, løsningen vil være ret kompliceret. I dette eksempel er √ (121) = 11. Vi kunne skrive: x = (5 +/- 11) / 6.

7. 

   Løs de positive og negative løsninger. Hvis du har fjernet kvadratroden, kan du fortsætte, indtil du har fundet de positive og negative løsninger på x. Nu hvor du har (5 +/- 11) / 6, kan du skrive to muligheder:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6

8. 

   Find de positive og negative løsninger. Vi skal bare lave beregningen:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6

9. 

   Bryder sammen. For at forkorte dine svar skal du bare dele både tælleren og modellen med deres største fælles skiller. Del tælleren og nævneren for den første brøkdel med 2 og nævneren og nævneren for den anden brøkdel med 6, og du har fundet x.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)
   reklame

Metode 3 af 3: Fuldfør firkanten

1. 

   Flyt alle termer til den ene side af ligningen. Sørg for at -en eller x har et positivt tegn. Sådan gør du:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • I denne ligning -en lig med 2, b er lig med -12 og c lig med -9.

2. 

   Kommet videre c eller konstant til den anden side. Konstanter er numeriske udtryk, der ikke indeholder nogen variabler. Lad os flytte det til højre side af ligningen:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9

3. 

   Del begge sider efter koefficienterne -en eller koefficienten x. Hvis x ikke har nogen term foran, er dens koefficient 1, og du kan springe dette trin over. I vores tilfælde skal du dele alle termer i ligningen med 2, således:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2

4. 

   Del b med to, firkant det og tilføj resultatet til begge sider. I dette eksempel b er lig med -6. Vi gør følgende:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9

5. 

   Skjul to sider. For at faktorere venstre side har vi (x-3) (x-3) eller (x-3). Tilføj højre side for at få 9/2 + 9 eller 9/2 + 18/2, og få 2/27.

6. 

   Find kvadratroden på begge sider. Kvadratroden af ​​(x-3) er (x-3). Du kan udtrykke kvadratroden på 27/2 som ± √ (27/2). Så x - 3 = ± √ (27/2).

7. 

   Skjul det radikale tegn og find x. For at reducere ± √ (27/2) finder vi en firkant inden for 27, 2 eller en faktor deraf. Den perfekte firkant 9 er i 27, fordi 9x3 = 27. For at fjerne 9 fra det radikale tegn trækker vi det ud og skriver 3, dets kvadratrod ud over det radikale tegn. Den resterende faktor 3 i tælleren kan ikke udsendes, så den forbliver under det radikale tegn. På samme tid efterlader vi også 2 i prøven af ​​fraktionen. Flyt derefter konstanten 3 på venstre side af ligningen til højre, og skriv de to løsninger ned:
   • x = 3 + (√6) / 2
   • x = 3 - (√6) / 2)
   reklame

Råd

• Som det kan ses, forsvinder det radikale tegn ikke helt. Derfor kan termer i tælleren ikke være kumulative (fordi de ikke er udtryk for den samme egenskab). Derfor er plus-minus-divisionen meningsløs. I stedet kan vi opdele alle de fælles faktorer, men LIGE når konstant OG Koefficienter for enhver radikal indeholder også denne faktor.
• Hvis det radikale tegn ikke er en perfekt firkant, kan de sidste par skridt tages lidt anderledes. Såsom:
• Hvis "b" er et lige tal, vil formlen være: {- (b / 2) +/- √ (b / 2) -ac} / a.