Indhold

• Trin
• Metode 1 af 3: Factoring af en ligning
• Metode 2 af 3: Brug af den kvadratiske formel
• Metode 3 af 3: Fuldførelse af pladsen
• Tips

En kvadratisk ligning er en ligning, hvor den største effekt af en variabel er 2. Der er tre hovedmåder til at løse andengradsligninger: faktorér om muligt den kvadratiske ligning, brug den kvadratiske formel, eller fuldfør kvadratet. Vil du vide, hvordan alt dette gøres? Læs videre.

Trin

Metode 1 af 3: Factoring af en ligning

1. 1 Tilføj alle de lignende elementer og overfør dem til den ene side af ligningen. Dette vil være det første trin, hvilket betyder ${ displaystyle x ^ {2}}$ i dette tilfælde bør det forblive positivt. Tilføj eller træk alle værdier fra ${ displaystyle x ^ {2}}$, ${ displaystyle x}$ og konstant, overfører alt til den ene del og efterlader 0 i den anden. Sådan gør du:
   • ${ displaystyle 2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x ^ {2}}$
   • ${ displaystyle 2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3x-4 = 0}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {2} -11x -4 = 0}$
2. 2 Faktorér udtrykket. For at gøre dette skal du bruge værdierne ${ displaystyle x ^ {2}}$ (3), konstante værdier (-4), skal de multipliceres og danne -11. Sådan gør du:
   • ${ displaystyle 3x ^ {2}}$ har kun to mulige faktorer: ${ displaystyle 3x}$ og ${ displaystyle x}$så de kan skrives i parentes: ${ displaystyle (3x pm?) (x pm?) = 0}$.
   • Dernæst, ved at erstatte faktorerne 4, finder vi den kombination, der, når den multipliceres, giver -11x. Du kan bruge en kombination af 4 og 1 eller 2 og 2, da begge giver 4. Husk, at værdierne skal være negative, fordi vi har -4.
   • Gennem trial and error får du kombinationen ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$... Når vi multiplicerer, får vi ${ displaystyle 3x ^ {2} -12x + x -4}$... Ved at forbinde ${ displaystyle -12x}$ og ${ displaystyle x}$, får vi mellemfristen ${ displaystyle -11x}$som vi ledte efter. Den kvadratiske ligning er faktoriseret.
   • Lad os f.eks. Prøve en uegnet kombination: (${ displaystyle (3x-2) (x + 2)}$ = ${ displaystyle 3x ^ {2} + 6x-2x-4}$... Kombineret får vi ${ displaystyle 3x ^ {2} -4x -4}$... Selvom faktorerne -2 og 2 multiplicerer til -4, virker mellemfristen ikke, fordi vi ønskede at få ${ displaystyle -11x}$, men ikke ${ displaystyle -4x}$.
3. 3 Læg hvert udtryk i parentes til nul (som separate ligninger). Sådan finder vi to betydninger ${ displaystyle x}$hvor hele ligningen er lig med nul, ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$ = 0. Nu er det tilbage at udligne hvert af udtrykkene i parentes til nul. Hvorfor? Pointen er, at produktet er lig med nul, når mindst en af ​​faktorerne er lig med nul. Som ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$ er nul, så er enten (3x + 1) eller (x - 4) nul. Skriv ned ${ displaystyle 3x + 1 = 0}$ og ${ displaystyle x-4 = 0}$.
4. 4 Løs hver ligning separat. I en kvadratisk ligning har x to betydninger. Løs ligningerne og skriv x -værdierne ned:
   • Løs ligningen 3x + 1 = 0
     • 3x = -1 ..... ved at trække fra
     • 3x / 3 = -1/3 ..... ved at dividere
     • x = -1/3 ..... efter forenkling
   • Løs ligningen x - 4 = 0
     • x = 4 ..... ved at trække fra
   • x = (-1/3, 4) ..... mulige værdier, dvs. x = -1/3 eller x = 4.
5. 5 Kontroller x = -1/3 ved at tilslutte denne værdi til (3x + 1) (x - 4) = 0:
   • (3 [-1/3] + 1) ([- 1/3]- 4)? =? 0 ..... ved substitution
   • (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... efter forenkling
   • (0) (- 4 1/3) = 0 ..... efter multiplikation
   • 0 = 0, så x = -1/3 er det korrekte svar.
6. 6 Kontroller x = 4 ved at tilslutte denne værdi til (3x + 1) (x - 4) = 0:
   • (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0 ..... ved substitution
   • (13) (4 - 4)? =? 0 ..... efter forenkling
   • (13) (0) = 0 ..... efter multiplikation
   • 0 = 0, derfor er x = 4 det korrekte svar.
   • Således er begge løsninger korrekte.

Metode 2 af 3: Brug af den kvadratiske formel

1. 1 Kombiner alle termerne og skriv ned på den ene side af ligningen. Gem værdien ${ displaystyle x ^ {2}}$ positiv. Skriv vilkårene i faldende grader, således udtrykket ${ displaystyle x ^ {2}}$ stavet først, derefter ${ displaystyle x}$ og derefter en konstant:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0
2. 2 Skriv formlen for rødderne til en kvadratisk ligning ned. Formlen ser sådan ud: ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$
3. 3 Bestem værdierne for a, b og c i en kvadratisk ligning. Variabel -en er koefficienten for udtrykket x, b - medlem x, c - konstant. For ligning 3x -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 og c = -8. Skriv det ned.
4. 4 Indsæt værdierne for a, b og c i ligningen. Når du kender værdierne for de tre variabler, kan du tilslutte dem til ligningen som følger:
   • {-b +/- √ (b- 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)
5. 5 Tæl det op. Erstat værdierne, forenkle fordele og ulemper, og gange eller firkant de resterende termer:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6
6. 6 Forenkle kvadratroden. Hvis kvadratroden er en firkant, får du et helt tal. Hvis ikke, skal du forenkle det til den enkleste rodværdi. Hvis tallet er negativt, og du er sikker på, at det skal være negativt, så vil rødderne være komplekse. I dette eksempel √ (121) = 11. Du kan skrive, at x = (5 +/- 11) / 6.
7. 7 Find positive og negative løsninger. Hvis du har fjernet kvadratrodstegnet, kan du fortsætte, indtil du finder positive og negative x -værdier. Med (5 +/- 11) / 6 kan du skrive:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6
8. 8 Find positive og negative værdier. Bare tæl:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6
9. 9 Forenkle. For at gøre dette skal du blot dele begge dele med den største fælles faktor. Divider den første brøk med 2, den anden med 6, x findes.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)

Metode 3 af 3: Fuldførelse af pladsen

1. 1 Flyt alle termer til den ene side af ligningen.-en eller x skal være positiv. Dette gøres sådan:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • I denne ligning -en: 2, b: -12,c: -9.
2. 2 Overførselsmedlem c (permanent) til den anden side. En konstant er et udtryk i en ligning, der kun indeholder en numerisk værdi uden variabler.Flyt det til højre side:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9
3. 3 Del begge dele efter faktor -en eller x. Hvis x ikke har nogen koefficient, er den lig med en, og dette trin kan springes over. I vores eksempel dividerer vi alle medlemmer med 2:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2
4. 4 Dele b med 2, firkantet og tilføj til begge sider. I vores eksempel b er lig med -6:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9
5. 5 Forenkle begge sider. Kvadratér termerne til venstre for at få (x-3) (x-3) eller (x-3). Tilføj vilkårene til højre for at lave 9/2 + 9 eller 9/2 + 18/2, hvilket er 27/2.
6. 6 Uddrag kvadratroden på begge sider. Kvadratroden af ​​(x-3) er ganske enkelt (x-3). Kvadratroden 27/2 kan skrives som ± √ (27/2). Således x - 3 = ± √ (27/2).
7. 7 Forenkle radikalt udtryk og find x. For at forenkle ± √ (27/2) skal du finde den perfekte firkant i tallene 27 og 2 eller deres faktorer. I 27 er der en komplet firkant på 9, fordi 9 x 3 = 27. For at udlede 9 fra rodtegnet, tag roden fra det og træk 3 fra rodtegnet. Efterlad 3 i tællerne i brøken under rodtegnet, da denne faktor ikke kan ekstraheres, og lad også 2 stå i bunden. Flyt derefter konstanten 3 fra venstre side af ligningen til højre side og skriv de to løsninger for x ned:
   • x = 3 + (√6) / 2
   • x = 3 - (√6) / 2)

Tips

• Hvis tallet under rodtegnet ikke er en komplet firkant, udføres de sidste par trin lidt anderledes. Her er et eksempel:
• Som du kan se, er rodtegnet ikke forsvundet. På denne måde kan udtrykkene i tællerne ikke kombineres. Så nytter det ikke at opdele plus eller minus. I stedet deler vi alle fælles faktorer - men kun hvis den faktor, der er fælles for konstanten og rodkoefficient.