Indhold

• Trin
• Del 1 af 2: Det grundlæggende
• Del 2 af 2: Udvidet matricetransformation til løsning af SLAE'er
• Tips

Et ligningssystem er et sæt af to eller flere ligninger, der har et fælles sæt ukendte og derfor en fælles løsning. Grafen for systemet med lineære ligninger er to lige linjer, og løsningen på systemet er skæringspunktet for disse lige linjer. For at løse sådanne systemer af lineære ligninger er det nyttigt og bekvemt at bruge matricer.

Trin

Del 1 af 2: Det grundlæggende

1. 1 Terminologi. Systemer med lineære ligninger består af forskellige komponenter. En variabel er angivet med et alfabetisk tegn (normalt x eller y) og betyder et tal, som du endnu ikke kender og skal finde. En konstant er et bestemt tal, der ikke ændrer dens værdi.Koefficienten er tallet foran variablen, det vil sige det tal, variablen multipliceres med.
   • For eksempel, for en lineær ligning er 2x + 4y = 8, x og y variabler, 8 er konstant, og tal 2 og 4 er koefficienter.
2. 2 Form til et system af lineære ligninger. Et system af lineære algebraiske ligninger (SLAE) med to variabler kan skrives som følger: ax + by = p, cx + dy = q. Enhver konstant (p, q) kan være nul, men hver af ligningerne skal indeholde mindst en variabel (x, y).
3. 3 Matrix udtryk. Enhver SLAE kan skrives i matrixform, og derefter løses det ved hjælp af matricers algebraiske egenskaber. Når man skriver et ligningssystem i matrixform, repræsenterer A matrixens koefficienter, C repræsenterer konstante matricer, og X angiver en ukendt matrix.
   • For eksempel kan ovenstående SLAE omskrives i følgende matrixform: A x X = C.
4. 4 Udvidet matrix. Den udvidede matrix opnås ved at overføre matricen med frie termer (konstanter) til venstre side. Hvis du har to matricer, A og C, ser den udvidede matrix således ud:
   • For eksempel for følgende system af lineære ligninger:
     2x + 4y = 8
     x + y = 2
     Den udvidede matrix vil være 2x3 og se sådan ud:

Del 2 af 2: Udvidet matricetransformation til løsning af SLAE'er

1. 1 Elementære operationer. Du kan udføre bestemte operationer på en matrix og dermed opnå en matrix, der svarer til den originale. Sådanne operationer kaldes elementære. For eksempel for at løse en 2x3 matrix skal du udføre rækkeoperationer for at bringe matrixen til en trekantet form. Sådanne operationer kan være:
   • permutation af to linjer.
   • gang en streng med et nul -nummer.
   • multiplicere en streng og tilføje den til en anden.
2. 2 Multiplikation af den anden linje med et nummer uden nul. Hvis du vil have nul på den anden linje, kan du gange linjen for at gøre det muligt.
   • For eksempel, hvis du har en matrix som denne:
     
     
     Du kan beholde den første linje og bruge den til at få nul på den anden linje. For at gøre dette skal du først gange den anden linje med 2:
3. 3 Multiplicer igen. For at få nul for den første række, skal du muligvis multiplicere igen ved hjælp af lignende manipulationer.
   • I eksemplet ovenfor skal du gange den anden linje med -1:
     
     
     Efter multiplikation vil matrixen se sådan ud:
4. 4 Tilføj den første linje til den anden. Tilføj rækkerne for at få et nul i stedet for den første kolonne og anden række.
   • I vores eksempel skal du tilføje begge linjer for at få følgende:
5. 5 Skriv et nyt system af lineære ligninger for en trekantet matrix. Når du har fået den trekantede matrix, kan du gå tilbage til SLAE. Matrixens første kolonne svarer til den ukendte variabel x, og den anden svarer til den ukendte variabel y. Den tredje kolonne svarer til ligningens skæringspunkt.
   • For vores eksempel vil det nye system af lineære ligninger have formen:
6. 6 Løs ligningen for en af ​​variablerne. I den nye SLAE skal du bestemme, hvilken variabel der er lettest at finde og løse ligningen.
   • I vores eksempel er det mere bekvemt at løse fra slutningen, det vil sige fra den sidste ligning til den første, at flytte fra bund til top. Fra den anden ligning kan vi let finde en løsning for y, da vi slap af med x, så y = 2.
7. 7 Find den anden ukendte ved substitutionsmetode. Når du har fundet en af ​​variablerne, kan du tilslutte den til den anden ligning for at finde den anden variabel.
   • I vores eksempel skal du bare erstatte y med 2 i den første ligning for at finde det ukendte x:

Tips

• Matrixelementer kaldes almindeligvis skalarer.
• For at løse en 2x3 matrix skal du udføre elementære rækkeoperationer. Du kan ikke udføre disse operationer på kolonner.