Indhold

• Trin
• Del 1 af 3: Udtrækning af kuberoden med et enkelt eksempel
• Del 2 af 3: Estimering af terningroder
• Del 3 af 3: Forklaring af beregningsprocessen beskrevet
• Tips
• Advarsler
• Hvad har du brug for

Hvis du har en lommeregner lige ved hånden, kan du let udtrække kubens rod af et hvilket som helst tal. Men hvis du ikke har en lommeregner, eller du bare vil imponere andre, skal du manuelt udtrække kuberoden. For de fleste mennesker vil den her beskrevne proces virke temmelig kompliceret, men med praksis vil det blive meget lettere at udtrække kuberødder. Inden du begynder at læse denne artikel, skal du huske de grundlæggende matematiske operationer og beregninger med tal i en terning.

Trin

Del 1 af 3: Udtrækning af kuberoden med et enkelt eksempel

1. 1 Skriv opgaven ned. Manuel kubrodsekstraktion ligner lang division, men med nogle nuancer. Skriv først opgaven ned i en bestemt form.
   • Skriv det nummer ned, hvorfra du vil udtrække kubens rod. Opdel tallet i grupper på tre cifre, og begynd at tælle med et decimalpunkt. For eksempel skal du udtrække kuberoden på 10. Skriv tallet således: 10.000.000. Yderligere nuller bruges til at forbedre præcisionen af ​​resultatet.
   • Tegn et rodtegn ved siden af ​​og over tallet. Forestil dig, at det er de vandrette og lodrette linjer, du tegner i lang division. Den eneste forskel er formen på de to karakterer.
   • Placer et decimalpunkt over den vandrette linje. Gør dette direkte over decimalpunktet for det originale tal.
2. 2 Husk resultaterne af cubing heltal. De vil blive brugt i beregninger.
   • ${ displaystyle 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}$
   • ${ displaystyle 2 ^ {3} = 2 * 2 * 2 = 8}$
   • ${ displaystyle 3 ^ {3} = 3 * 3 * 3 = 27}$
   • ${ displaystyle 4 ^ {3} = 4 * 4 * 4 = 64}$
   • ${ displaystyle 5 ^ {3} = 5 * 5 * 5 = 125}$
   • ${ displaystyle 6 ^ {3} = 6 * 6 * 6 = 216}$
   • ${ displaystyle 7 ^ {3} = 7 * 7 * 7 = 343}$
   • ${ displaystyle 8 ^ {3} = 8 * 8 * 8 = 512}$
   • ${ displaystyle 9 ^ {3} = 9 * 9 * 9 = 729}$
   • ${ displaystyle 10 ^ {3} = 10 * 10 * 10 = 1000}$
3. 3 Find det første ciffer i svaret. Vælg en heltalskube, der er tættest på, men mindre end den første gruppe på tre cifre.
   • I vores eksempel er den første gruppe på tre cifre 10. Find den største terning, der er mindre end 10. Denne terning er 8, og terningen af ​​8 er 2.
   • Over den vandrette linje over tallet 10, skriv tallet 2. Skriv derefter værdien af ​​operationen ned ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8 under 10. Tegn en linje og træk 8 fra 10 (som i lang division). Resultatet er 2 (dette er den første rest).
   • Således har du fundet det første nummer i svaret. Overvej om det givne resultat er nøjagtigt nok. I de fleste tilfælde vil dette være et meget groft svar. Cub resultatet for at finde ud af, hvor tæt det er på det originale nummer. I vores eksempel: ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8, hvilket ikke er særlig tæt på 10, så beregningerne skal fortsættes.
4. 4 Find det næste ciffer i svaret. Tilføj den anden gruppe med tre tal til den første rest, og tegn en lodret linje til venstre for det resulterende tal. Ved hjælp af det resulterende tal finder du det andet ciffer i svaret. I vores eksempel skal den anden gruppe på tre cifre (000) føjes til den første rest (2) for at få tallet 2000.
   • Til venstre for den lodrette linje skriver du tre tal, hvis sum er lig med en eller anden første faktor. Forlad tomme mellemrum for disse tal, og sæt plustegn imellem.
5. 5 Find det første udtryk (ud af tre). I det første tomme mellemrum skal du skrive resultatet af multiplikation af 300 med kvadratet på det første ciffer i svaret (det er skrevet over rodtegnet). I vores eksempel er det første ciffer i svaret 2, så 300 * (2 ^ 2) = 300 * 4 = 1200. Skriv 1200 i det første tomme mellemrum. Det første udtryk er 1200 (plus yderligere to tal at finde).
6. 6 Find det andet ciffer i svaret. Find ud af, hvilket tal du har brug for at gange 1200, så resultatet er tæt, men ikke overstiger 2000. Dette tal kan kun være 1, da 2 * 1200 = 2400, hvilket er mere end 2000. Skriv 1 (andet ciffer i svar) efter 2 og decimal komma over rodtegnet.
7. 7 Find det andet og tredje udtryk (ud af tre). Faktoren består af tre tal (udtryk), hvoraf det første du allerede har fundet (1200). Nu skal vi finde de resterende to udtryk.
   • Gang 3 med 10 og med hvert ciffer i svaret (de er skrevet over rodtegnet). I vores eksempel: 3 * 10 * 2 * 1 = 60. Føj dette resultat til 1200 og få 1260.
   • Til sidst firkantes det sidste ciffer i dit svar. I vores eksempel er svarets sidste ciffer 1, så 1 ^ 2 = 1. Så den første faktor er summen af ​​følgende tal: 1200 + 60 + 1 = 1261. Skriv dette tal til venstre for den lodrette bjælke .
8. 8 Multiplicere og trække fra. Gang det sidste ciffer i svaret (i vores eksempel er det 1) med den fundne faktor (1261): 1 * 1261 = 1261. Skriv dette tal under 2000 og træk det fra 2000. Du får 739 (dette er det andet resten).
9. 9 Overvej om det svar du modtog er korrekt nok. Gør dette hver gang du gennemfører den næste subtraktion. Efter den første subtraktion var svaret 2, hvilket ikke er et eksakt resultat. Efter den anden subtraktion er svaret 2.1.
   • For at kontrollere nøjagtigheden af ​​svaret, kub det: 2.1 * 2.1 * 2.1 = 9.261.
   • Hvis du synes, at svaret er korrekt nok, behøver du ikke at fortsætte beregningerne; ellers foretag en anden subtraktion.
10. 10 Find den anden faktor. For at øve dine beregninger og få et mere præcist resultat skal du gentage ovenstående trin.
    • Tilføj den tredje gruppe på tre cifre (000) til den anden rest (739). Du får nummeret 739000.
    • Gang 300 med kvadratet af tallet skrevet over rodtegnet (21): ${ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}$ = 132300.
    • Find det tredje ciffer i svaret. Find ud af, hvilket tal du har brug for at gange 132300, så resultatet er tæt, men ikke overstiger 739000. Det tal er 5: 5 * 132200 = 661500. Skriv 5 (tredje ciffer i svaret) efter 1 over rodtegnet.
    • Gang 3 med 10 med 21 og med det sidste ciffer i svaret (de er skrevet over rodtegnet). I vores eksempel: ${ displaystyle 3 * 21 * 5 * 10 = 3150}$.
    • Til sidst firkantes det sidste ciffer i dit svar. I vores eksempel er svarets sidste ciffer 5, altså ${ displaystyle 5 ^ {2} = 25.}$
    • Således er den anden faktor: 132300 + 3150 + 25 = 135.475.
11. 11 Gang det sidste ciffer i dit svar med den anden faktor. Når du har fundet den anden faktor og det tredje ciffer i svaret, skal du gøre følgende:
    • Gang det sidste ciffer i svaret med den fundne faktor: 135475 * 5 = 677375.
    • Træk fra: 739000 - 677375 = 61625.
    • Overvej, om det svar, du modtog, er korrekt nok. For at gøre dette, terning det: ${ displaystyle 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94}$.
12. 12 Skriv dit svar ned. Resultatet skrevet over rodtegnet er svaret med to decimaler. I vores eksempel er terningen af ​​10 på 2,15. Kontroller dit svar ved at kubere det: 2,15 ^ 3 = 9,94, hvilket er cirka 10. Hvis du har brug for mere præcision, skal du fortsætte beregningen (som beskrevet ovenfor).

Del 2 af 3: Estimering af terningroder

1. 1 Brug terninger af tal til at bestemme de øvre og nedre grænser. Hvis du har brug for at udtrække kubrot af næsten ethvert tal, skal du finde terninger (nogle tal), der er tæt på det givne tal.
   • For eksempel skal du udtrække kuberoden på 600. Siden ${ displaystyle 8 ^ {3} = 512}$ og ${ displaystyle 9 ^ {3} = 729}$, så er kuberoden på 600 mellem 8 og 9. Brug derfor 512 og 729 som de øvre og nedre grænser for dit svar.
2. 2 Vurder det andet tal. Du fandt det første tal takket være din viden om heltalets terninger. Konverter nu et helt tal til en decimalfraktion ved at tildele det (efter decimalpunktet) et ciffer fra 0 til 9. Du skal finde en decimalbrøk, hvis terning er tæt, men mindre end det originale tal.
   • I vores eksempel er tallet 600 mellem 512 og 729. For eksempel, til det første fundne nummer (8), tilføj tallet 5. Du får tallet 8,5.
3. 3 Vurder det resulterende tal ved at bygge det ind i en terning. Gør dette for at kontrollere, at terningen er tæt, men ikke større end det originale nummer.
   • I vores eksempel: ${ displaystyle 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614.1.}$
4. 4 Evaluer et andet nummer, hvis det er nødvendigt. Sammenlign terningen af ​​det resulterende tal med det originale nummer. Hvis terningen af ​​det resulterende tal er større end det originale tal, kan du prøve at evaluere et lavere tal. Hvis terningen af ​​det resulterende tal er meget mindre end det originale tal, skal du evaluere de store tal, indtil terningen af ​​et af dem overstiger det originale tal.
   • I vores eksempel: ${ displaystyle 8.5 ^ {3}}$ > 600. Anslå således det mindre tal 8,4. Tern dette tal, og sammenlign det med det originale nummer: ${ displaystyle 8.4 * 8.4 * 8.4 = 592.7}$... Dette resultat er mindre end det originale tal. Således er termeroden på 600 mellem 8,4 og 8,5.
5. 5 Evaluer det næste nummer for at forbedre nøjagtigheden af ​​dit svar. For hvert nummer, du vurderede sidst, skal du tilføje et tal fra 0 til 9, indtil du får det nøjagtige svar. I hver evalueringsrunde skal du finde de øvre og nedre grænser, mellem hvilke det originale tal er.
   • I vores eksempel: ${ displaystyle 8.4 ^ {3} = 592.7}$ og ${ displaystyle 8.5 ^ {3} = 614.1}$... Det originale tal 600 er tættere på 592 end på 614. Derfor skal du tilføje et ciffer, der er tættere på 0 end til 9. til det sidste tal, du anslår.
6. 6 Evaluer et andet nummer, hvis det er nødvendigt. Sammenlign terningen af ​​det resulterende tal med det originale nummer. Hvis terningen af ​​det resulterende tal er større end det originale tal, kan du prøve at evaluere et lavere tal. Kort sagt skal du finde to tal, hvis terninger er lidt større og lidt mindre end det originale nummer.
   • I vores eksempel ${ displaystyle 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2}$... Dette er lidt større end det originale nummer, så vurder et andet (mindre) tal, for eksempel 8.43: ${ displaystyle 8.43 * 8.43 * 8.43 = 599.07}$... Således er termeroden på 600 mellem 8,43 og 8,44.
7. 7 Følg denne proces, indtil du får et svar, der er tilfredsstillende for dig. Evaluer det næste tal, sammenlign det med originalen, evaluer derefter et andet nummer om nødvendigt og så videre. Bemærk, at hvert ekstra ciffer efter decimaltegnet øger nøjagtigheden af ​​dit svar.
   • I vores eksempel er terningen med tallet 8.43 mindre end det originale nummer med mindre end 1. Hvis du har brug for mere præcision, terning tallet 8.434 og få det ${ displaystyle 8,434 ^ {3} = 599,93}$, det vil sige, at resultatet er mindre end 0,1 mindre end det originale tal.

Del 3 af 3: Forklaring af beregningsprocessen beskrevet

1. 1 Husk binomialserien. En binomial serie er resultatet af at hæve et binomial (binomial) til en bestemt effekt, i dette tilfælde til en terning. For at forstå algoritmen til ekstraktion af terninger, der er beskrevet her, skal du først huske, hvordan et binomial er terning. Chancerne er store, at du lærte dette i skolen (og sandsynligvis snart glemte, som de fleste mennesker gør). Variabler ${ displaystyle A}$ og ${ displaystyle B}$ markere nogle enkelt cifre. Derefter kan det tocifrede tal skrives som et binomium ${ displaystyle (10A + B)}$.
   • Her er medlemmet ${ displaystyle 10A}$ repræsenterer tiernes sted, det vil sige hvis ${ displaystyle A}$ Er et enkeltcifret tal altså ${ displaystyle 10A}$ - dette er allerede det tilsvarende tocifrede tal. For eksempel hvis ${ displaystyle A}$ = 2, og ${ displaystyle B}$ = 6, altså ${ displaystyle (10A + B)}$ = 26, det vil sige, du har et tocifret nummer 26.
2. 2 Terning af binomiet. Gør dette for at forstå processen med ekstraktion af terninger, der er beskrevet i det første afsnit. Beregn ${ displaystyle (10A + B) ^ {3}}$ = ${ displaystyle (10A + B) * (10A + B) * (10A + B)}$ = ${ displaystyle 1000A ^ {3} + 300A ^ {2} B + 30AB ^ {2} + B ^ {3}}$ (her har vi udeladt flere faser af terningekonstruktion, for ikke at røre artiklen med beregninger).
   • En detaljeret forklaring kan findes her.
3. 3 Forstå den lange division algoritme. Bemærk, at termerodmetoden beskrevet her meget ligner lang division. Når du deler i en kolonne, skal du finde tallet (kvotienten), når du multiplicerer med divisoren, får du udbyttet. I den beskrevne metode bruges resultatet af ekstraktion af kuberoden (den er skrevet over rodtegnet) som kvotienten. Det vil sige, at resultatet af ekstraktion af kuberoden kan repræsenteres som et binomial (10A + B). De nøjagtige værdier for A og B er ikke vigtige på dette stadium: husk bare, at resultatet kan skrives som et binomium.
4. 4 Se på binomialområdet. Det er summen af ​​fire monomier, takket være hvilke du kan forstå princippet for driften af ​​terningrodsekstraktionsalgoritmen. Bemærk, at multiplikatoren for hvert trin i ekstraktionen af ​​roden er lig med summen af ​​de fire termer, der skal beregnes og tilføjes.
   • Faktoren for det første udtryk er 1000. For at beregne det første ciffer i svaret finder du først terningen af ​​et helt tal, der er tættest på, men mindre end et bestemt tal (nemlig den første gruppe på tre cifre). Dette definerer 1000A ^ 3 -medlemmet i binomialserien.
   • Multiplikatoren for det andet udtryk i binomialserien er tallet 300 (${ displaystyle 3 * 10 ^ {2}}$ = 300). Husk på, at på hvert trin i terningrodsekstraktion blev svarets tilsvarende ciffer (er) ganget med 300.
   • Det andet udtryk på hvert trin i rodekstraktion bestemmes af det tredje udtryk i binomialserien, der er lig med 30AB ^ 2.
   • Det tredje udtryk på hvert trin i rodekstraktion bestemmes af det fjerde udtryk i binomialserien, der er lig med B ^ 3.
5. 5 Bemærk stigningen i svarets nøjagtighed. Jo flere faser af rodudtrækning du går igennem, jo ​​mere præcist vil svaret være. For eksempel, i denne artikel, havde du brug for at udtrække kuberoden af ​​10. På det første trin er svaret 2, da ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8, hvilket er tæt, men mindre end 10. På anden etape er svaret 2.1, fordi ${ displaystyle 2.1 ^ {3} = 9.261}$, som er meget tættere på 10. På tredje etape er svaret 2,15, siden ${ displaystyle 2.15 ^ {3} = 9.94}$... Du kan fortsætte beregningen ved hjælp af grupper på tre cifre for at forbedre nøjagtigheden af ​​dit svar.

Tips

• Øv dig på at mestre de beskrevne metoder. Jo mere du øver, jo hurtigere kommer du igennem beregningerne.

Advarsler

• Det er ret let at lave en fejl i beregningsprocessen. Så sørg for at tjekke svaret.

Hvad har du brug for

• Pen eller blyant
• Papir
• Lineal
• Viskelæder