Indhold

• At træde
• Metode 1 af 1: Del to: Brug af summen 1 til N for at finde summen af ​​to heltal
• Tips
• Advarsler

Heltal er heltal uden brøker eller decimaler. Hvis et matematisk problem kræver, at du beregner summen af ​​et antal heltal fra 1 til en given værdi N, er det ikke nødvendigt at tilføje hver værdi manuelt. Brug ligningen i stedet for at spare tid og kræfter (N (N + 1)) / 2, hvor N er det højeste tal i serien.

At træde

1. Definer det største heltal som N. Når du tilføjer heltal fra 1 til et givet tal N., skal du definere N selv som et positivt heltal. N er et heltal, så det kan ikke være et decimaltal eller en brøkdel. N må heller ikke være negativ.
   • Lad os som et eksempel sige, at vi vil tilføje alle heltal fra 1 til 100. I dette tilfælde er 100 værdien for N, fordi dette er det sidste tal i vores serie eller med andre ord det største tal i tilføjelsen.
2. Multiplicer N (N + 1) og divider med 2. Når du har defineret værdien af ​​N, skal du anvende denne værdi til ligningen (N (N + 1)) / 2. Denne ligning finder summen af ​​alle heltal mellem 1 og N.
   • I vores eksempel indtaster vi 100, værdien for N, i ligningen. (N (N + 1)) / 2 bliver derefter (100 (100 + 1)) / 2.
3. Beregn svaret. Den endelige værdi af denne ligning er summen af ​​alle tal mellem 1 og N.
   • Lad os løse dette eksempel.
     • (100(100 + 1))/2 =
     • (100(101))/2 =
     • (10100)/2 =
     • 5050. Er summen af ​​alle heltal fra 1 til 100 5050.
4. Forstå hvordan ligningen (N (N + 1)) / 2 er afledt. Se igen på prøveproblemet. Del denne sekvens 1 + 2 + 3 + 4 ... + 99 + 100 i to grupper - fra 1 til 50 og en fra 51 til 100. Hvis du tilføjer det første nummer i den første gruppe (1) til det sidste tal i den anden gruppe (100) får du 101. Du får det samme svar (101) med 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 osv. Hvis vi tilføjer hvert nummer i den første gruppe til det tilsvarende nummer i den anden gruppe, ender vi med 50 par tal med den samme sum: 101. Så 50 x 101 = 5050, summen for heltalene fra 1 til 100 Bemærk, at 50 er halvdelen af ​​100, og 101 er 100 + 1. Denne observation gælder faktisk summen af ​​ethvert positivt heltal - tilføjelsen af ​​komponenterne kan opdeles i to grupper, og tallene i disse grupper kan være tildelt hinanden på en sådan måde, at hvert par har den samme sum. Bemærk, at for en ulige række af heltal forbliver et tal - dette påvirker ikke det endelige svar.
   • Generelt kan vi sige, at for ethvert tal N er summen af ​​tallene fra 1 til N lig med (N / 2) (N + 1). Den forenklede form for denne ligning er (N (N + 1)) / 2, som er summen af ​​heltalligningen.

Metode 1 af 1: Del to: Brug af summen 1 til N for at finde summen af ​​to heltal

1. Beslut om du tilføjer inkluderende eller eksklusiv. Ofte er målet ikke at summe et interval af heltal fra 1 til et givet tal, men du bliver bedt om at finde summen af ​​et interval af heltal mellem to heltal N.₁ og N₂hvor N₁ > N₂ og begge er> 1. Processen til at finde denne sum er relativt enkel, men inden vi kommer i gang, skal vi beslutte, om summen er inkluderende eller eksklusiv - med andre ord, om N₁ og N₂ inkluderer eller kun heltalene imellem, fordi proceduren adskiller sig lidt fra hinanden i disse tilfælde.
2. Til bestemmelse af summen af ​​heltal mellem to tal N.₁ og N₂ vi bestemmer først summen af ​​hver værdi af N separat og trækker den. Generelt skal du bare trække summen af ​​den mindre N-værdi fra summen af ​​den større N-værdi for at finde svaret. Imidlertid, som angivet ovenfor, er det vigtigt at vide, om denne tilføjelse er inkluderende eller eksklusiv. Inkludering af tilføjelse kræver, at du trækker 1 fra værdien af ​​N.₂ inden du indtaster det i ligningen, mens eksklusiv optælling kræver, at du trækker 1 fra værdien for N.₁.
   • Lad os sige inklusive summen af ​​heltalene mellem N.₁ = 100 og N₂ = 75. Med andre ord skal vi finde summen af ​​serien 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. For at gøre dette tager vi summen af ​​heltalene fra 1 til N₁og træk denne sum fra heltalene fra 1 til N.₂ - 1 (husk at vi tilføjer inkluderende, så træk 1 fra N.₂), og udarbejd det således:
     • (N₁(N₁ + 1)) / 2 - ((N₂-1) ((N₂-1) + 1))/2 =
     • (100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 =
     • 5050 - (74(75))/2 =
     • 5050 - 5550/2 =
     • 5050 - 2775 = 2275. Den inklusive sum af heltal mellem 75 og 100 er 2275.
   • Lad os nu eksklusiv start med at tælle. Ligningen forbliver den samme, bortset fra at vi trækker 1 fra N i dette tilfælde₁ i stedet for N.₂:
     • ((N₁-1) ((N₁-1) + 1)) / 2 - (N₂(N₂ + 1))/2 =
     • (99(99 +1))/2 - (75(75 + 1))/2 =
     • (99(100))/2 - (75(76))/2 =
     • 9900/2 – 5700/2 =
     • 4950 - 2850 = 2100. Den eksklusive sum af heltal mellem 75 og 100 er 2100.
3. Forstå hvorfor denne proces fungerer. Overvej summen af ​​heltalene fra 1 til 100 som 1 + 2 + 3 ... + 98 + 99 + 100 og summen af ​​heltalene fra 1 til 75 som 1 + 2 + 3 ... + 73 + 74 + 75 Den inklusiv sum af heltalene fra 75 til 100 betyder 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Summen af ​​1-75 og 1-100 er den samme op til 75 -– på det tidspunkt summen af ​​1 -75 'stopper' og summen af ​​1 - 100 fortsætter med ... 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Træk derfor summen af ​​heltalene fra 1-75 fra summen af ​​heltalene fra 1-100 os evnen til at adskille summen af ​​heltalene fra 75-100.
   • Men hvis vi tilføjer inkluderende, skal vi bruge summen af ​​1-74 i stedet for summen af ​​1-75 for at sikre, at 75 er inkluderet i den endelige sum.
   • Når vi udelukkende tilføjer, bruger vi ligeledes summen af ​​1-99 i stedet for summen af ​​1-100 for at sikre, at 100 ikke er inkluderet i summen. Vi kan bruge summen af ​​1-75, fordi at trække denne sum fra summen af ​​1-99 udelukker tallet 75 fra vores endelige sum.

Tips

• Resultatet er altid et heltal, fordi n eller n + 1 er jævn og derfor kan deles med 2.
• Kort sagt: SUM (1 til n) = n (n + 1) / 2
• SUM (a til b) = SUM (1 til b) - SUM (1 til a-1).
  
  

Advarsler

• Mens generaliseringer til negative tal ikke er meget vanskelige, er denne forklaring begrænset til alle positive heltal N, hvor N er mindst 1.