Indhold

• At træde
• Tips

Som en graf se en kvadratisk ligning økse + bx + c , også der er skrevet som a (x - h) + k, ligner en glat kurve i en U-form. Vi kalder denne parabel. Tegning af en kvadratisk ligning indebærer at finde toppunktet, retningen og ofte skæringspunkterne med x-aksen og y-aksen. I tilfælde af den relativt enkle kvadratiske ligning kan det også være tilstrækkeligt at indtaste et antal værdier for x for at indikere disse punkter i koordinatsystemet, hvorefter parabolen kan tegnes. Fortsæt til trin 1 for at komme i gang.

At træde

1. Bestem hvilken slags andengradsligning du har. Det kan skrives på to måder: standardnotationen og toppunktnotationen (en anden måde at skrive kvadratrodformlen på). Du kan bruge begge dele til at oprette en graf af en kvadratisk ligning, men processen er lidt forskellig i hvert tilfælde. Det meste af tiden vil du støde på standardformen, men det gør bestemt ikke ondt at lære at bruge begge former. De to former for en kvadratisk ligning er:
   • Standardformen. Den kvadratiske ligning bemærkes som: f (x) = ax + bx + c hvor a, b og c er reelle tal og a ikke er lig med nul.
     • To eksempler på standard kvadratiske ligninger: f (x) = x + 2x + 1 og f (x) = 9x + 10x -8.
   • Hovedformen. Den kvadratiske ligning bemærkes som: f (x) = a (x - h) + k hvor a, h og k er reelle tal og a ikke er lig med nul. Denne form kaldes toppunkt, fordi h og k henviser direkte til toppen af ​​din parabel ved punktet (h, k).
     • To eksempler på ligninger i toppunktform er f (x) = 9 (x - 4) + 18 og -3 (x - 5) + 1
   • For at lave en graf over disse ligninger bestemmer vi først toppen (h, k) af grafen. I standardligningen finder du dette via: h = -b / 2a og k = f (h), mens dette allerede er angivet i toppunktform, fordi h og k forekommer i ligningen.
2. Bestem dine variabler. For at løse en kvadratisk ligning er det normalt nødvendigt at bestemme variablerne a, b og c (eller a, h og k). En regelmæssig øvelse giver dig en andegradsligning i standardform, men toppunktnotationen kan også forekomme.
   • For eksempel: standardfunktionen f (x) = 2x + 16x + 39. Her har vi a = 2, b = 16 og c = 39.
   • I toppunktnotation: f (x) = 4 (x - 5) + 12. Her har vi a = 4, h = 5 og k = 12.
3. Beregn h. I toppunktnotationen er værdien af ​​h allerede givet, men i standardnotationen skal denne værdi endnu ikke beregnes. Husk, at med standardligningen holder: h = -b / 2a.
   • Eksempel 1. (f (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Ved at løse dette ser vi, at h = -4.
   • Eksempel 2. (f (x) = 4 (x - 5) + 12), ser vi straks, at h = 5.
4. Beregn k. Som med h er k allerede kendt fra ligninger i toppunktform. For ligninger i standardnotation skal du huske at k = f (h). Med andre ord kan du finde k ved at erstatte en variabel x med værdien af ​​h.
   • Vi har for eksempel set 1, at h = -4. For at finde k løser vi denne ligning ved at udfylde denne værdi af h i ligningen for variablen x:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • Fra eksempel 2 ved vi, at værdien af ​​k er lig med 12 uden behov for nogen beregning.
5. Tegn toppen eller bunden af ​​grafen. Spidsen eller dalen i din parabel er punktet (h, k) - h står for x-koordinaten og k står for y-koordinaten. Toppunktet er centrum for din parabel - det højeste eller laveste punkt, toppunktet eller dalen, i en graf i form af et "U" eller omvendt.At være i stand til at bestemme toppen af ​​en parabel er en væsentlig del af at tegne en korrekt graf - ofte at bestemme toppen af ​​en parabel er en del af et matematisk problem i skolen.
   • I eksempel 1 er toppen af ​​grafen (-4,7). Tegn punktet på din graf, og sørg for at navngive koordinaterne korrekt.
   • I eksempel 2 er toppen (5.12). Så fra punktet (0,0) går du 5 steder til højre og derefter op 12.
6. Hvis det er nødvendigt, tegner du parabelens symmetriakse. En paraboles symmetriakse er den linje, der skærer figuren i midten og deler den nøjagtigt i halvdelen. Den ene side af grafen spejles langs denne linje i den anden side af grafen. I kvadratiske ligninger af enten ax + bx + c eller a (x - h) + k er denne akse den linje, der er parallel med y-aksen, der passerer gennem parabelens toppunkt.
   • I tilfældet med eksempel 1 er symmetriaksen den linje, der er parallel med y-aksen og passerer gennem punktet (-4,7). Selvom det ikke er en del af selve parabolen, kan fremhævning af denne retningslinje let vise dig, hvor symmetrisk parabelkurven er.
7. Bestem retningen af ​​parabolen. Når du har fundet ud af, hvad toppen af ​​parabolen er, er det nødvendigt at vide, om du har at gøre med et bjerg eller en dalparabel, dvs. om åbningen er i bunden eller øverst. Heldigvis er dette meget let. Hvis "a" er positivt, har du at gøre med en dalparabel; hvis "a" er negativt, er det en bjergparabel (med åbningen i bunden)
   • I eksempel 1 har vi at gøre med funktionen (f (x) = 2x + 16x + 39), så dette er en dalparabel, fordi a = 2 (positiv).
   • I eksempel 2 har vi at gøre med funktionen f (x) = 4 (x - 5) + 12), og dette er også en dalparabel, fordi a = 4 (positiv).
8. Bestem om nødvendigt parabelens skæringspunkter. Ofte når et matematikproblem bliver bedt om at give skæringspunktet mellem parabolen og x-aksen (disse er "nul", -en eller to punkter, hvor parabolen skærer eller rammer x-aksen). Selv hvis der ikke anmodes om det, er disse punkter meget vigtige for at kunne tegne en nøjagtig graf. Men ikke alle paraboler har et kryds med x-aksen. Hvis du har at gøre med en dalparabel og dalpunktet er over x-aksen eller, i tilfælde af en bjergparabel lige under x-aksen, er der simpelthen ingen skæringspunkter at finde. Brug i så fald en af ​​følgende metoder:
   • Bestem, at f (x) = 0, og løs ligningen. Denne metode fungerer muligvis for enkle kvadratiske ligninger, især i toppunktformen, men du vil opdage, at dette bliver stadig vanskeligere, efterhånden som funktionerne bliver mere komplekse. Nedenfor er et par eksempler.
     • f (x) = 4 (x - 12)
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • SqRt (1) = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. x = 11 og 13 er skæringspunkterne med parabelens x-akse.
   • Faktor ligningen. Nogle ligninger i formen ax + bx + c kan let omskrives som (dx + e) ​​(fx + g), hvor dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx og e × g = c. I dette tilfælde er x-skæringerne værdierne for x, hvor hvert udtryk inden for parentesen bliver lig med 0. For eksempel:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • I dette tilfælde er skæringspunktet -1, fordi dette, angivet i begge faktorer, giver nul.
   • Brug abc-formlen. Hvis det ikke er let at finde ud af krydsene eller faktorisere ligningen, skal du bruge "abc-formlen" specifikt til dette formål. Antag en ligning i form ax + bx + c. Indtast derefter værdierne for a, b og c i formlen x = (-b +/- SqRt (b - 4ac)) / 2a. Bemærk, at dette ofte giver dig to svar på x, hvilket er fint - det betyder bare, at din parabel har to skæringspunkter med x-aksen. Her er et eksempel:
     • Indtast -5x + 1x + 10 i ligningen på følgende måde:
     • x = (-1 +/- SqRt (1-4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14,18) / - 10
     • x = (13,18 / -10) og (-15,18 / -10). Parabelens skæringspunkter med x-aksen er ca. x = -1,318 og 1,518
     • Som i eksempel 1 med ligningen 2x + 16x + 39 vil dette se sådan ud:
     • x = (-16 +/- SqRt (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
     • Da det ikke er muligt at finde kvadratroden af ​​et negativt tal, ved vi, at der ikke er nogen skæringspunkter med x-aksen for denne særlige parabel.
9. Bestem om nødvendigt skæringspunktet mellem parabolen og y-aksen. Det er ofte ikke nødvendigt, men undertiden krævet at finde dette kryds, for eksempel for et matematisk problem. Dette er ret let - indstil værdien på x til 0 og løs ligningen for f (x) eller y, som giver dig y-værdien for det punkt, hvor parabolen krydser med y-aksen. Forskellen med skæringspunkterne gennem x-aksen er, at der på y-aksen altid kun er et skæringspunkt. Bemærk - med standardligninger er krydset med y-aksen ved y = c.
   • For eksempel ved vi, at vores kvadratiske ligning 2x + 16x + 39 har et kryds y = 39, men vi kan også finde dette som følger:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39. Skæringspunktet mellem parabolen og y-aksen: y = 39. Som angivet ovenfor kan vi let læse skæringspunktet, fordi y = c.
   • Ligningen 4 (x - 5) + 12 har et kryds med y-aksen, som kan findes som følger:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112. Skæringspunktet med y-aksen: y = 112.
10. Hvis du mener, det er nødvendigt, skal du først tegne ekstra point og derefter hele grafen. Du skal nu have en top eller en dal, en retning, skæringspunkter med x-aksen og muligvis med y-aksen i din ligning. Fra dette punkt kan du prøve at tegne parabolen ved hjælp af disse punkter, eller du kan prøve at finde flere punkter for at gøre grafen mere præcis. Den nemmeste måde at gøre dette på er simpelthen at indtaste et antal x-værdier, som returnerer et antal y-værdier. Du bliver ofte bedt (af læreren) om at beregne et antal point, før du kan begynde at tegne parabolen.
    • Lad os se på ligningen x + 2x + 1. Vi ved allerede, at det eneste skæringspunkt med x-aksen er (-1,0). Da det kun berører x-aksen på dette punkt, kan vi udlede, at toppen af ​​grafen er lig med dette punkt. Indtil videre har vi kun et punkt i denne parabel - ikke nær nok til at tegne en graf. Lad os finde et par flere punkter for at sikre, at vi har flere værdier.
      • Lad os prøve at finde de y-værdier, der svarer til følgende x-værdier: 0, 1, -2 og -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Derefter punktet (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Derefter punktet (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Derefter punktet (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Derefter punktet (-3,4).
      • Placer disse punkter i grafen og tegn din parabel. Bemærk, at parabolen er helt symmetrisk - hvis du kender punkterne på den ene side af grafen, kan du normalt spare dig selv meget arbejde ved at bruge disse punkter til at finde punkterne på den anden side af symmetriaksen.

Tips

• Om nødvendigt afrunder tal eller brug brøker. Dette kan hjælpe med at vise et diagram korrekt.
• Bemærk, at hvis for f (x) = ax + bx + c, b eller c er lig med nul, forsvinder disse udtryk. For eksempel bliver 12x + 0x + 6 lig med 12x + 6, fordi 0x er lig med 0.