Faktor kvadratiske ligninger

Video.: Kvadratiske funksjonar (10. klasse)

Indhold

At træde
Begyndelsen
Metode 1 af 6: Trial and Error
Metode 2 af 6: Nedbrydning
Metode 3 af 6: Triple Play
Metode 4 af 6: Forskellen mellem to firkanter
Metode 5 af 6: ABC-formlen
Metode 6 af 6: Brug af en lommeregner
Tips
Advarsler
Nødvendigheder

Et polynom indeholder en variabel (x) til en bestemt styrke og flere udtryk og / eller konstanter. For at faktorere et polynom skal du bryde udtrykket i mindre udtryk, der ganges sammen. Dette kræver et bestemt niveau af matematik og kan derfor være svært at forstå, hvis du ikke er helt så langt endnu.

At træde

Begyndelsen

Ligningen. Standardformatet for en kvadratisk ligning er:

ax + bx + c = 0
Start med at arrangere termerne i din ligning fra den højeste til den laveste effekt. Tag f.eks .:

6 + 6x + 13x = 0
Vi vil omorganisere dette udtryk, så det bliver lettere at arbejde med - simpelthen ved at flytte vilkårene:

6x + 13x + 6 = 0
Find faktorer ved hjælp af en af nedenstående metoder. Faktoring af polynomet resulterer i to mindre udtryk, der kan multipliceres sammen for at få det originale polynom:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
I dette eksempel er (2x +3) og (3x + 2) faktorer fra det originale udtryk, 6x + 13x + 6.
Tjek dit arbejde! Multiplicer de faktorer, du fandt. Kombiner de samme vilkår, og du er færdig. Start med:

(2x + 3) (3x + 2)
Lad os teste dette ved at multiplicere termerne ved hjælp af EBBL (første - ydre - indre - sidste), hvilket giver os:

6x + 4x + 9x + 6
Nu tilføjer vi 4x og 9x sammen, fordi de er lige vilkår. Vi ved, at faktorerne er korrekte, fordi vi får den ligning, vi startede med, tilbage:

6x + 13x + 6

Metode 1 af 6: Trial and Error

Hvis du har et ret simpelt polynom, kan du muligvis se, hvad faktorerne er med det samme. For eksempel efter mange øvelser er mange matematikere i stand til at se udtrykket 4x + 4x + 1 har faktorerne (2x + 1) og (2x + 1) simpelthen fordi de har set dette så mange gange. (Det vil åbenbart ikke være så let med mere komplicerede polynomer.) Lad os tage et mindre standardudtryk for dette eksempel:

3x + 2x - 8

Skriv faktorerne for -en sigt og c semester. Brug formatet ax + bx + c = 0, genkende -en og c vilkår og bemærk hvilke faktorer der er. For 3x + 2x - 8 betyder det:

a = 3 og har 1 par faktorer: 1 * 3
c = -8 og dette har 4 par faktorer: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 og -1 * 8.
Skriv ned to par parenteser med et tomt mellemrum. Her indtaster du konstanterne for hvert udtryk:

(x) (x)
Udfyld mellemrummet før x'erne med et antal mulige faktorer for -en værdi. For -en sigt i vores eksempel, 3x, er der kun 1 mulighed:

(3x) (1x)
Udfyld de to mellemrum efter x'erne med et par faktorer for konstanterne. Antag at vi vælger 8 og 1. Indtast dette:

(3x8)(X1)
Bestem hvilke tegn (plus eller minus) der skal være mellem x-variablerne og tallene. Afhængigt af tegnene i det originale udtryk er det muligt at finde ud af, hvad konstanterne skal være. Lad os tage de to konstanter af de to faktorer h og k at nævne:

Hvis ax + bx + c så (x + h) (x + k)
Hvis ax - bx - c eller ax + bx - c så (x - h) (x + k)
Hvis ax - bx + c så (x - h) (x - k)
I vores eksempel, 3x + 2x - 8, er tegnet: (x - h) (x + k), hvilket giver os følgende to faktorer:

(3x + 8) og (x - 1)
Test dit valg med den første-ydre-indre-sidste multiplikation. En hurtig første test for at se, om mellemperioden mindst er den korrekte værdi. Hvis ikke, har du sandsynligvis den forkerte c valgte faktorer. Lad os teste svaret:

(3x + 8) (x - 1)
Ved multiplikation får vi:

3x - 3x + 8x - 8
Forenkle dette udtryk ved at tilføje lignende udtryk (-3x) og (8x), og vi får:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Vi ved nu, at vi tog de forkerte faktorer:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Skift dine valg, hvis det er nødvendigt. Lad os i vores eksempel prøve 2 og 4 i stedet for 1 og 8:

(3x + 2) (x - 4)
Nu vores c sigt lig med -8, men det ydre / indre produkt af (3x * -4) og (2 * x) er -12x og 2x, hvilket ikke er det korrekte b sigt eller + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Vend ordren om nødvendigt. Lad os prøve at vende 2 og 4:

(3x + 4) (x - 2)
Nu vores c sigt (4 * 2 = 8) og stadig okay, men de ydre / indre produkter er -6x og 4x. Når vi kombinerer disse får vi:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Vi kommer nu temmelig tæt på 2x, hvor vi vil være, men tegnet er endnu ikke korrekt.
Dobbelttjek dine tegn, hvis det er nødvendigt. Vi holder denne ordre, men bytter den med minustegnet:

(3x - 4) (x + 2)
Nu er det c sigt stadig okay, og de ydre / indre produkter er nu (6x) og (-4x). Fordi:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Vi ser nu de positive 2x tilbage fra det oprindelige problem. Dette skal være de rigtige faktorer.

Metode 2 af 6: Nedbrydning

Denne metode giver alle mulige faktorer -en og c vilkår og bruger dem til at finde ud af, hvilke faktorer der er korrekte. Hvis tallene er meget store, eller hvis gætteriet fra andre metoder vil tage for lang tid, skal du bruge denne måde. Et eksempel:

6x + 13x + 6

Multiplicer -en sigt med c semester. I dette eksempel -en er 6 og c er også 6.

6 * 6 = 36
Find b sigt ved faktorisering og test. Vi leder efter 2 tal, der er faktorer for -en * c og sammen den b sigt (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Udskift de to tal, du får i din ligning, som summen af b semester. Lad os k og h for at repræsentere de 2 tal, vi har, 4 og 9:

ax + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
Faktor polynomet ved gruppering. Organiser ligningen, så du kan adskille den største fælles skiller af de første to termer og de sidste to termer. Begge faktorer skal være de samme. Tilføj GGD'erne sammen og placer dem i parentes ud for faktorerne; som et resultat får du de to faktorer:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Metode 3 af 6: Triple Play

Svarende til nedbrydningsmetoden. Metoden "triple play" undersøger de mulige faktorer for produktet af -en og c og brug den til at finde ud af hvad b må være. Tag ligningen som et eksempel:

8x + 10x + 2

Multiplicer -en sigt med c semester. Som med nedbrydningsmetoden bruger vi denne til at bestemme kandidaterne til b semester. I dette eksempel: -en er 8 og c er 2.

8 * 2 = 16
Find de 2 tal med dette nummer som produkt og med en sum lig med b semester. Dette trin er det samme som nedbrydningsmetoden - vi tester kandidater til konstanterne. Produktet af -en og c vilkår er 16, og c sigt er 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Tag disse 2 tal og erstat dem i formlen "triple play". Tag de 2 numre fra det forrige trin - lad os hente dem h og k kald dem - og sæt dem i udtrykket:

((ax + h) (ax + k)) / a

Med dette får vi:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Se hvilke af de to termer i nævneren, der kan divideres fuldt ud med -en. I dette eksempel ser vi på, om (8x + 8) eller (8x + 2) kan divideres med 8. (8x + 8) kan deles med 8, så vi deler dette udtryk med -en og vi lader den anden upåvirket.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Udtrykket, vi har holdt her, er det, der forbliver efter at have divideret med -en sigt: (x + 1)
Tag den største fælles skillevæg (gcd) fra en eller begge termer, hvis det er muligt. I dette eksempel ser vi, at det andet udtryk har gcd på 2, fordi 8x + 2 = 2 (4x + 1). Kombiner dette svar med det udtryk, du opdagede i det forrige trin. Dette er faktorerne i din sammenligning.

2 (x + 1) (4x + 1)

Metode 4 af 6: Forskellen mellem to firkanter

Du kan genkende nogle koefficienter i et polynom som "firkanter" eller også som produktet af 2 identiske tal. Ved at finde ud af, hvilke firkanter der er, kan du muligvis faktorere polynomierne meget hurtigere. Vi tager ligningen:

27x - 12 = 0

Fjern gcd'en fra ligningen, hvis det er muligt. I dette tilfælde ser vi, at 27 og 12 begge er delelige med 3, så vi kan placere dem separat:

27x - 12 = 3 (9x - 4)
Bestem, om koefficienterne i din ligning er firkanter. For at bruge denne metode er det nødvendigt at bestemme roden til vilkårene. (Bemærk at vi har udeladt minustegnene - da disse tal er firkanter, kan de være produktet af 2 negative tal)

9x = 3x * 3x og 4 = 2 * 2
Ved hjælp af kvadratroden, du har bestemt, kan du nu skrive faktorer ud. Vi tager -en og c værdier fra det forrige trin: -en = 9 og c = 4, så rødderne til dette er: - √-en = 3 og √c = 2. Dette er koefficienterne for de faktoriserede udtryk:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metode 5 af 6: ABC-formlen

Hvis intet ser ud til at fungere, og du ikke kan løse ligningen, skal du bruge abc-formlen. Tag følgende eksempel:

x + 4x + 1 = 0

Indtast de tilsvarende værdier i abc-formlen:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Vi får nu udtrykket:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
Løs til x. Du skal nu få 2 værdier for x. Disse er:

x = -2 + √ (3) eller x = -2 - √ (3)
Brug værdierne x til at bestemme faktorerne. Indtast x-værdierne opnået i de to ligninger som konstanter. Dette er dine faktorer. Hvis vi besvarer de to h og k vi nedskriver de to faktorer som følger:

(x - h) (x - k)
I dette tilfælde er det endelige svar:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Metode 6 af 6: Brug af en lommeregner

Hvis det er tilladt (eller obligatorisk) at bruge en grafregner, gør det factoring meget lettere, især til eksamen og eksamen. Følgende instruktioner er til en TI-grafregner. Vi bruger ligningen fra eksemplet:

y = x - x - 2

Indtast ligningen i din lommeregner. Du bruger ligningsløseren, også kendt som [Y =] -skærmen.
Graflig ligningen med lommeregneren. Når du har indtastet ligningen, skal du trykke på [GRAFIK] - du skal nu se en buet linje, en parabel som en grafisk repræsentation af din ligning (og det er en parabel, fordi vi har at gøre med et polynom).
Find, hvor parabolen krydser x-aksen. Da en kvadratisk ligning traditionelt er skrevet som ax + bx + c = 0, er disse de to x-værdier, der gør ligningen lig med nul:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Hvis du ikke kan se, hvor parabolen krydser x-aksen, skal du trykke på [2.] og derefter på [TRACE]. Tryk på [2], eller vælg "nul". Flyt markøren til venstre for et kryds, og tryk på [ENTER]. Flyt markøren til højre for et kryds, og tryk på [ENTER]. Flyt markøren så tæt på skæringspunktet som muligt, og tryk på [ENTER]. Lommeregneren angiver x-værdien. Gør dette også til det andet kryds.
Indtast de x-værdier, du har fået, i de to fakturerede udtryk. Hvis vi tager de to x-værdier h og k som udtryk ser det udtryk, vi bruger, sådan ud:

(x - h) (x - k) = 0
Så vores to faktorer bliver derefter:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Tips

Hvis du har indregnet polynomet med abc-formlen, og dit svar indeholder rødder, kan du konvertere x-værdierne til brøker for at kontrollere dem.
Hvis et udtryk ikke har nogen koefficient før det, er koefficienten lig med 1, f.eks. X = 1x.
Hvis du har en TI-84-lommeregner, er der et program kaldet SOLVER, der kan løse en kvadratisk ligning for dig. Det løser også højere grad polynomer.
Efter en masse øvelse vil du i sidste ende være i stand til at løse polynomer udenad. Men for at være på den sikre side er det bedre at altid skrive dem ud.
Hvis et udtryk ikke findes, er koefficienten nul. Så kan det være nyttigt at omskrive ligningen. F.eks. x + 6 = x + 0x + 6.

Advarsler

Hvis du lærer dette koncept i matematikklassen, skal du være opmærksom på hvad læreren forklarer og ikke bare bruge din egen yndlingsmetode. Du bliver muligvis bedt om at bruge en bestemt metode til en test, ellers er grafregnemaskiner muligvis ikke tilladt.