Analyser kvadratiske ligninger i faktorer - Tips

Sådan faktoriseres kvadratiske ligninger - Tips

Indhold

Trin
Råd
Hvad du har brug for

I matematik, faktoranalyse er at finde tal eller udtryk med produktet af et givet tal eller ligning. Faktoranalyse er en nyttig færdighed at lære til løsning af grundlæggende algebraiske problemer: evnen til at faktorisere godt er næsten kritisk, når det kommer til at arbejde. med algebraiske ligninger eller andre polynomiske former. Faktoranalyse kan bruges til at reducere algebraiske udtryk, hvilket gør problemet enklere. Takket være det kan du endda fjerne visse mulige svar meget hurtigere end at løse i hånden.

Trin

Metode 1 af 3: Analyser tal og grundlæggende algebraiske udtryk i faktorer

Forstå definitionen af faktoranalyse, når du anvender til enkeltnumre. Selvom det er begrebsmæssigt simpelt, kan det i praksis være ret udfordrende at anvende komplekse ligninger. Derfor er den nemmeste konceptuelle tilgang til faktoranalyse at starte fra enkelte tal og derefter gå videre til enkle ligninger, inden du fortsætter med mere avancerede applikationer. Faktor for et givet nummer er tal med produktet med det samme nummer. For eksempel er 1, 12, 2, 6, 3 og 4 faktorer på 12, fordi 1 × 12, 2 × 6 og 3 × 4 alle er lig med 12.
- Med andre ord er faktorerne for et givet tal tal er delt efter dette nummer.
- Kan du finde den fulde faktor på 60? Nummeret 60 bruges til mange forskellige formål (minutter på en time, sekunder på et minut osv.), Fordi det er deleligt med mange tal.
  - Nummeret 60 har følgende faktorer: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 og 60.
Forstå, at udtryk, der indeholder variabler, også kan faktoriseres. Ud over uafhængige tal kan variabler med aritmetiske koefficienter også faktoriseres. For at gøre dette skal vi bare finde faktorerne for variabelens koefficient. At vide, hvordan man faktoriserer analyse, er meget nyttigt i enkle transformerende algebraiske ligninger, der indeholder variabler.
- For eksempel kan 12x omskrives til at være resultater på 12 og x. Det er muligt at skrive 12x som 3 (4x), 2 (6x) osv. Og bruge den faktor, der bedst passer til den tilsigtede anvendelse af 12.
  - Du kan endda gå så langt som 12x analyse mange gange. Med andre ord er der ingen grund til at stoppe ved 3 (4x) eller 2 (6x) - vi kan analysere henholdsvis 4x og 6x for at få 3 (2 (2x) 2 (3 (2x)). Denne formel er ækvivalent.
Anvend associerende egenskaber ved multiplikation for at faktorisere algebraiske ligninger. Ved hjælp af din viden om at analysere både uafhængige tal og koefficienter i faktorer, kan du forenkle enkle algebraiske ligninger ved at finde fælles faktorer for de tal og variabler, der er inkluderet i ligningen. For at ligningen skal være så enkel som muligt, vil vi ofte prøve at finde den største fælles skiller. Denne enkle transformation er mulig takket være multiplikationens associative natur - for hvert tal a, b og c har vi: a (b + c) = ab + ac.
- Lad os overveje følgende eksempelproblem. For at faktorere den algebraiske ligning 12x + 6 til en faktor, finder vi først den største fællesdeler på 12x og 6. 6 er det største tal, som både 12x og 6 er deleligt med, så vi kan simpelthen transformere reducer ligningen til 6 (2x + 1).
- Den samme proces gælder for ligninger, der bærer negative tegn og brøker. For eksempel kan x / 2 + 4 simpelthen konverteres til 1/2 (x + 8), og -7x + -21 kan nedbrydes til -7 (x + 3).
reklame

Metode 2 af 3: Analyse af kvadratiske ligninger i faktorer

Sørg for, at ligningen er i kvadratisk form (ax + bx + c = 0). Den kvadratiske ligning har formen ax + bx + c = 0, hvor a, b og c er konstanter, og a er ikke nul (bemærk at en kan er lig med 1 eller -1). Hvis ligningen med en variabel (x) indeholder et eller flere udtryk, der indeholder kvadratet af x, kan du normalt konvertere den grundlæggende algebraiske operator på den ene side af ligetegnet til 0 og lade ax osv. på den anden side.
- For eksempel kan den algebraiske ligning 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 reduceres til x + 6x + 9 = 0, hvilket er en kvadratisk form.
- Ligninger hvor x har en højere eksponent, såsom x, x osv. kan ikke være kvadratisk. De er kvadratiske, kvaternære, medmindre ligningen kan reduceres ved at eliminere termer, der indeholder kræfterne på 3 eller mere af x.
Med kvadratiske ligninger, når a = 1, nedbrydes vi til (x + d) (x + e), hvor d × e = c og d + e = b. Hvis den kvadratiske ligning er i formen x + bx + c = 0 (med andre ord, hvis koefficienten x = 1), er der en mulighed (men ikke sikker) på, at vi kan bruge en relativt hurtig beregning. det er simpelt at faktorere denne ligning. Find to tal svarende til c og summen er lig med b. Når du har fundet d og e, skal du erstatte dem med følgende udtryk: (x + d) (x + e). Når de multipliceres sammen, giver disse to elementer os den kvadratiske ligning ovenfor - med andre ord, de er faktorer i ligningen.
- Tag for eksempel den kvadratiske ligning x + 5x + 6 = 0. 3 og 2 har et produkt på 6 og har samtidig i alt 5. Derfor kan vi simpelthen konvertere ligningen til (x + 3) ( x + 2).
- Denne grundlæggende hurtige løsning vil være lidt anderledes, når ligningen i sig selv er lidt anderledes:
  - Hvis den kvadratiske ligning er i formen x-bx + c, vil dit svar have formen: (x - _) (x - _).
  - Hvis det er i form af x + bx + c, vil dit svar være: (x + _) (x + _).
  - Hvis det er i x-bx-c, vil dit svar være i form (x + _) (x - _).
- Bemærk: i mellemrum kan være brøkdele eller decimaler. For eksempel nedbrydes ligningen x + (21/2) x + 5 = 0 til (x + 10) (x + 1/2).
Udfør om muligt faktoranalyse ved test. Tro det eller ej, med den ukomplicerede kvadratiske ligning er en af de accepterede metoder til faktorisering simpelthen at se på problemet og derefter afveje alle mulige svar, indtil et resultat er fundet. rigtigt svar. Det er også kendt som testmetoden.Hvis ligningen har formen ax + bx + c og a> 1, vil din faktorisering have formen (dx +/- _) (ex +/- _), hvor d og e er konstanter den anden er ikke lig med a. d eller e (eller begge dele) kan er lig med 1, selvom det ikke nødvendigvis vil være. Hvis begge er lig med 1, ville du stort set have brugt det hurtige arbejde, der er vist ovenfor.
- Overvej følgende eksempelproblem. Ved første øjekast ser 3x - 8x + 4 ret skræmmende ud. Når du først er klar over, at 3 kun har to faktorer (3 og 1), bliver problemet lettere, fordi vi ved, at svaret skal have formen (3x +/- _) (x +/- _). I dette tilfælde giver det korrekte svar at erstatte -2 i begge mellemrum. -2 × 3x = -6x og -2 × x = -2x. -6x og -2x i alt lig med -8x. -2 × -2 = 4, derfor kan det ses, at de elementer, der er pareret i parentes, giver os den indledende ligning.
Løs problemet ved at udfylde firkanten. I nogle tilfælde kan kvadratiske ligninger multipliceres hurtigt og nemt ved hjælp af en speciel algebraisk identitet. Enhver kvadratisk ligning af formen x + 2xh + h = (x + h). Derfor, hvis i ligningen er to gange kvadratroden af c, kan ligningen nedbrydes til (x + (sqrt (c))).
- Ligningen x + 6x + 9 fungerer f.eks. For denne form. 3 er lig med 9 og 3 × 2 er lig med 6. Så vi ved, at faktoriseringsformen for denne ligning er (x + 3) (x + 3) eller (x + 3).
Løs kvadratiske ligninger med faktorer. Uanset hvad, når det kvadratiske udtryk er blevet faktoriseret, kan du finde et muligt svar på værdien af x ved at give hver faktor nul og løse det. Da du leder efter værdien af x, således at ligningen er nul, vil enhver x, der får en faktor til at være nul, være en mulig løsning på ligningen.
- Gå tilbage til ligningen x + 5x + 6 = 0. Dette nedbrydes til (x + 3) (x + 2) = 0. Når en faktor er nul, bliver hele ligningen nul. Mulige løsninger på x er de tal, der gør (x + 3) og (x + 2) lig med henholdsvis 0, -3 og -2.
Tjek dine svar - nogle kan være eksotiske! Når du finder mulige løsninger på x, skal du erstatte dem med den originale ligning for at afgøre, om de er korrekte eller ikke. Nogle gange finder svaret det intet problem får den originale ligning til at være nul, når den udskiftes. Vi kalder disse løsninger Eksotisk og eliminere dem.
- Lad os erstatte -2 og -3 for x + 5x + 6 = 0. Først, -2:
  - (-2) + 5(-2) + 6 = 0
  - 4 + -10 + 6 = 0
  - 0 = 0. Ja, så -2 er en gyldig løsning af ligningen.
- Lad os nu prøve -3:
  - (-3) + 5(-3) + 6 = 0
  - 9 + -15 + 6 = 0
  - 0 = 0. Dette er også sandt, og derfor er -3 også en gyldig løsning af ligningen.
reklame

Metode 3 af 3: Analyser andre typer ligninger til faktorer

Hvis ligningen er i a-b-form, nedbrydes den til (a + b) (a-b). Den to-variable ligning analyseres forskelligt end den grundlæggende kvadratiske ligning. Enhver a-b-ligning, hvor a og b ikke er nul, nedbrydes til (a + b) (a-b).
- For eksempel er ligningen 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y).
Hvis ligningen er i form af a + 2ab + b, nedbrydes den til (a + b). Bemærk, at hvis trinomialet er i form a-2ab + b, vil faktoriseringsformen variere lidt: (a-b).
- Ligninger 4x + 8xy + 4y kan omskrives som 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y. Nu ser vi, at det er i den korrekte form og med tillid kan sige, at faktoriseringsformen for denne ligning er (2x + 2y).
Hvis ligningen er i a-b-form, nedbrydes den til (a-b) (a + ab + b). Endelig skal det siges, at ternære ligninger og endnu højere ordenligninger kan faktoriseres. Imidlertid bliver analyseprocessen hurtigt utrolig kompleks.
- For eksempel nedbrydes 8x - 27y til (2x - 3y) (4x + ((2x) (3y)) + 9y)
reklame

Råd

a-b kan faktoriseres, og a + b kan ikke.
Husk, hvordan man faktorkonstanter - det kan være nyttigt.
Vær opmærksom på fraktioner under faktoranalyse, og håndter dem korrekt og passende.
Med x + bx + (b / 2) tridenten vil dens faktorisering være (x + (b / 2)) (du kan komme på tværs af denne situation, mens du udfylder firkanten).
Husk at a0 = 0 (egenskab ganget med nul).