Indhold

• Trin
• Del 1 af 3: Transponer Matrixen
• Del 2 af 3: Transponeringsegenskaber
• Del 3 af 3: Hermitisk konjugeret matrix med komplekse elementer
• Tips

Hvis du lærer at transponere matricer, får du en bedre forståelse af deres struktur. Du kender måske allerede til firkantmatricer og deres symmetri til at hjælpe dig med at mestre transponering. Blandt andet hjælper transposition med at transformere vektorer til matrixform og finde vektorprodukter. Når du arbejder med komplekse matricer, kan hermitisk-konjugat (konjugat-transponere) matricer hjælpe dig med at løse en række problemer.

Trin

Del 1 af 3: Transponer Matrixen

1. 1 Tag en hvilken som helst matrix. Enhver matrix kan transponeres, uanset antallet af rækker og kolonner. Oftest er det nødvendigt at transponere firkantede matricer, der har samme antal rækker og kolonner, så for nemheds skyld overveje følgende matrix som et eksempel:
   • matrixen EN =
     1  2  3
     4  5  6
     7  8  9
2. 2 Forestil dig den første række i en direkte matrix som den første kolonne i den transponerede matrix. Skriv bare den første linje som en kolonne:
   • transponeret matrix = A
   • første kolonne i matrix A:
     1
     2
     3
3. 3 Gør det samme for resten af ​​linjerne. Den anden række i den originale matrix bliver den anden kolonne i den transponerede matrix. Oversæt alle rækker til kolonner:
   • EN =
     1  4  7
     2  5  8
     3  6  9
4. 4 Prøv at transponere en ikke-firkantet matrix. Enhver rektangulær matrix kan transponeres på samme måde. Bare skriv den første linje som den første kolonne, den anden linje som den anden kolonne og så videre. I eksemplet herunder er hver række i den originale matrix markeret med sin egen farve for at gøre det tydeligere, hvordan den transformeres ved transponering:
   • matrixen Z =
     4  7  2  1
     3  9  8  6
   • matrixen Z =
     4  3
     7  9
     2  8
     1  6
5. 5 Lad os udtrykke transponeringen i form af en matematisk notation. Selvom tanken om transponering er meget enkel, er det bedst at skrive det ned som en streng formel. Matrixnotation kræver ikke særlige vilkår:
   • Antag givet en matrix B bestående af m x n elementer (m rækker og n kolonner), så er den transponerede matrix B et sæt af n x m elementer (n rækker og m kolonner).
   • For hvert element b_xy (linje x og kolonne y) af matrix B i matrix B findes der et ækvivalent element b_yx (linje y og kolonne x).

Del 2 af 3: Transponeringsegenskaber

1. 1 (M = M. Efter dobbelt transponering opnås den originale matrix. Dette er temmelig indlysende, da du ændrer rækker og kolonner igen når du transponerer igen, hvilket resulterer i den originale matrix.
2. 2 Spejl matricen omkring hoveddiagonalen. Firkantede matricer kan "vendes" i forhold til hoveddiagonalen. Desuden er elementerne langs hoveddiagonalen (fra a₁₁ til det nederste højre hjørne af matrixen) forbliver på plads, og resten af ​​elementerne bevæger sig til den anden side af denne diagonal og forbliver i samme afstand fra den.
   • Hvis du har svært ved at forestille dig denne metode, skal du tage et stykke papir og tegne en 4x4 -matrix. Omarranger derefter dets sideelementer i forhold til hoveddiagonalen. Spor samtidig elementerne a₁₄ og a₄₁... Ved transponering skal de byttes som andre par sideelementer.
3. 3 Transponer den symmetriske matrix. Elementerne i en sådan matrix er symmetriske omkring hoveddiagonalen. Hvis du udfører ovenstående operation og "vender" den symmetriske matrix, ændres den ikke. Alle elementer ændres til lignende. Faktisk er dette standardmåden til at afgøre, om en given matrix er symmetrisk. Hvis ligheden A = A holder, så er matrixen A symmetrisk.

Del 3 af 3: Hermitisk konjugeret matrix med komplekse elementer

1. 1 Overvej en kompleks matrix. Elementerne i en kompleks matrix er sammensat af virkelige og imaginære dele. En sådan matrix kan også transponeres, selvom der i de fleste praktiske anvendelser anvendes konjugat-transponeret eller hermitisk-konjugeret matrix.
   • Lad der gives en matrix C =
     2+jeg     3-2jeg
     0+jeg     5+0jeg
2. 2 Erstat elementerne med komplekse konjugerede tal. Ved drift af kompleks bøjning forbliver den virkelige del den samme, og den imaginære del ændrer sit tegn til det modsatte. Lad os gøre dette med alle fire elementer i matrixen.
   • find den komplekse konjugerede matrix C * =
     2-jeg     3+2jeg
     0-jeg     5-0jeg
3. 3 Vi transponerer den resulterende matrix. Tag den fundne komplekse konjugerede matrix og transponer den ganske enkelt. Som et resultat får vi en konjugeret-transponeret (hermitisk-konjugeret) matrix.
   • den konjugerede transponerede matrix C =
     2-jeg        0-jeg
     3+2jeg     5-0jeg

Tips

• I denne artikel betegnes den transponerede matrix i forhold til matrix A som A. Der er også notationen A 'eller Ã.
• I denne artikel betegnes hermitisk-konjugeret matrix med hensyn til matrix A som A, hvilket er en almindelig notation i lineær algebra. I kvantemekanikken bruges betegnelsen A ofte.Nogle gange er en hermitisk konjugeret matrix skrevet i formen A *, men det er bedre at undgå denne notation, da den også bruges til at skrive en kompleks konjugeret matrix.