Indhold

• Trin
• Råd

Hastighed defineres som et objekts hastighed i en given retning. I mange tilfælde bruger vi ligningen v = s / t for at finde hastighed, hvor v er hastigheden, s er den samlede afstand for objektets forskydning fra dets oprindelige position, og t er den tid det tager for objektet at rejse. gå hele vejen. Men i teorien er denne formel kun beregnet til hastighed medium af tingene på vej. Ved at beregne objektets hastighed på et hvilket som helst tidspunkt langs afstanden. Det er Transporttid og er defineret af ligningen v = (ds) / (dt), eller med andre ord, det er afledningen af ​​ligningen for den gennemsnitlige hastighed.

Trin

Del 1 af 3: Beregn øjeblikkelig hastighed

1. 

   
   
   Start med en ligning til beregning af hastighed ved forskydningsafstand. For at finde den øjeblikkelige hastighed skal vi først have en ligning, der angiver objektets position (udtrykt i forskydning) på et givet tidspunkt. Det betyder, at ligningen kun skal have en variabel S på den ene side og drej t På den anden side (ikke nødvendigvis kun en variabel), som denne:
   

   s = -1,5t + 10t + 4

   • I denne ligning er variablerne:

     s = forskydning. Den afstand objektet bevægede sig fra dets oprindelige position. For eksempel, hvis en genstand kan gå 10 meter fremad og 7 meter baglæns, er dens samlede rejseafstand 10 - 7 = 3 meter (ikke 10 + 7 = 17m).

     t = tid. Denne variabel er enkel uden forklaring, normalt målt i sekunder.

2. 

   
   
   Tag afledningen af ​​ligningen. Derivations af ligningen er en anden ligning, der viser afstandens hældning på et bestemt tidspunkt. For at finde ligningens afledte ved forskydningsafstand skal du tage funktionens differens i henhold til følgende generelle regel for at beregne derivatet: Hvis y = a * x, Derivat = a * n * x. Dette gælder for alle termer på ligningen "t".
   • Med andre ord, begynd at få differensen fra venstre mod højre på "t" -siden af ​​ligningen. Når du støder på variablen "t", trækker du eksponenten med 1 og multiplicerer udtrykket med den oprindelige eksponent. Alle konstante udtryk (udtryk uden "t") forsvinder, fordi de ganges med 0. Processen er ikke så hård, som du måske tror - lad os tage ligningen i ovenstående trin som et eksempel:
     

     s = -1,5t + 10t + 4
     (2) -1,5t + (1) 10t + (0) 4t
     -3t + 10t
     -3t + 10

     
     

3. 

   Udskift "s" med "ds / dt". For at vise, at den nye ligning er afledningen af ​​den oprindelige firkant, erstatter vi "s" med symbolet "ds / dt". I teorien er denne notation "afledningen af ​​s i form af t". En enklere måde at forstå denne betegnelse på, ds / dt er hældningen på ethvert punkt i den oprindelige ligning. For eksempel for at finde hældningen af ​​afstanden beskrevet af ligningen s = -1,5t + 10t + 4 på tidspunktet t = 5, erstatter vi "5" for t i afledningen af ​​ligningen.
   • I ovenstående eksempel ser afledningen af ​​ligningen sådan ud:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 

   Udskift en værdi for t i den nye ligning for at finde den øjeblikkelige hastighed. Nu hvor vi har den afledte ligning, er det meget let at finde den øjeblikkelige hastighed på et givet tidspunkt. Alt hvad du skal gøre er at vælge en t-værdi og erstatte den med den afledte ligning. For eksempel, hvis vi vil finde den øjeblikkelige hastighed ved t = 5, er vi bare nødt til at erstatte "5" for t i den afledte ligning ds / dt = -3t + 10. Vi løser ligningen således:
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 meter / sekund

   • Bemærk, at vi bruger enheden "meter / sekund" ovenfor.Da vi løser problemet med forskydning i meter og tid i sekunder, hvor hastighed netop er forskydning i tid, er denne enhed egnet.
   reklame

Del 2 af 3: Estimering af øjeblikkelig hastighed grafisk

1. 

   Graf objektets bevægelsesafstand over tid. I ovenstående afsnit sagde vi, at derivatet også er en formel, der giver os mulighed for at finde hældningen på ethvert punkt i ligningen taget fra derivatet. Faktisk, hvis du viser objektets bevægelsesafstand på en graf, Grafens hældning på ethvert punkt er objektets øjeblikkelige hastighed på det tidspunkt.
   • For at tegne bevægelsesafstande skal du bruge x-aksen til tid og y-aksen til forskydning. Du bestemmer derefter et antal punkter ved at tilslutte værdierne af t til bevægelsesligningen, resultatet er s-værdier, og du prikker punkterne t, s (x, y) på grafen.
   • Bemærk, at grafen kan strække sig under x-aksen. Hvis linjen, der viser objektets bevægelse, går ned ad x-aksen, betyder det, at objektet bevæger sig bagud fra dets oprindelige position. Generelt strækker grafen sig ikke bag y-aksen - vi måler normalt ikke hastigheden på objekter, der bevæger sig tilbage i tiden!

2. 

   Vælg et punkt P og et punkt Q placeret nær punkt P på grafen. For at finde hældningen af ​​grafen i punkt P bruger vi teknikken til "grænseovervågning". At finde grænsen betyder at tage to punkter (P og Q (et punkt nær P)) på kurven og finde hældningen på linjen, der forbinder disse to punkter, og gentage denne proces, når afstanden mellem P og Q forkorter. gradvist.
   • Antag, at forskydningsafstanden har punkter (1; 3) og (4; 7). I dette tilfælde, hvis vi vil finde hældningen ved (1; 3), kan vi indstille (1; 3) = P og (4; 7) = Q.

3. 

   Find hældningen mellem P og Q. Hældningen mellem P og Q er forskellen mellem y-værdierne for P og Q over forskellen mellem x-værdierne for P og Q. Med andre ord, H = (y_Spørgsmål - y_P) / (x_Spørgsmål - x_P), hvor H er hældningen mellem to punkter. I dette eksempel er hældningen mellem P og Q:
   

   H = (y_Spørgsmål - y_P) / (x_Spørgsmål - x_P)
   H = (7 - 3) / (4 - 1)
   H = (4) / (3) = 1,33

4. 

   Gentag flere gange ved at flytte Q tættere på P. Målet er at indsnævre afstanden mellem P og Q, indtil de når et enkelt punkt. Jo mindre afstanden mellem P og Q er, jo tættere er hældningen af ​​det uendeligt lille segment på hældningen ved punkt P. Gentag et par gange for vores eksempelligning ved hjælp af punkter (2; 4 , 8), (1.5; 3.95) og (1.25; 3.49) giver Q, og de indledende koordinater for P er (1; 3):
   

   Q = (2; 4,8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
   H = (1,8) / (1) = 1,8
   
   Q = (1,5; 3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
   H = (0,95) / (0,5) = 1,9
   
   Q = (1,25; 3,49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
   H = (0,49) / (0,25) = 1,96

5. 

   Estimerer hældningen af ​​det ekstremt lille segment på grafkurven. Når Q kommer tættere og tættere på P, vil H gradvist komme tættere på hældningen ved P. Endelig, ved en meget lille linje, vil H være hældningen ved P. Fordi vi ikke kan måle eller beregne Længden af ​​en linje er ekstremt lille, så estimer kun hældningen ved P, når den er tydelig synlig fra de punkter, vi beregner.
   • I ovenstående eksempel har vi værdierne for H på 1,8, når vi flytter H tættere på P; 1,9 og 1,96. Da disse tal nærmer sig 2 kan vi sige 2 er den omtrentlige værdi af hældningen ved P.
   • Husk, at hældningen på et hvilket som helst punkt på grafen er afledningen af ​​grafligningen på det tidspunkt. Da grafen repræsenterer et objekts forskydning over tid, som vi så i det foregående afsnit, er dets øjeblikkelige hastighed på ethvert punkt afledt af objektets forskydningsafstand på problempunktet. Adgang, kan vi sige 2 meter / sek er et omtrentligt skøn over den øjeblikkelige hastighed, når t = 1.
   reklame

Del 3 af 3: Eksempel på problem

1. 

   Find den øjeblikkelige hastighed, når t = 1 med forskydningsligningen s = 5t - 3t + 2t + 9. Som eksemplet i første afsnit, men dette er en kubik i stedet for kvadratisk, så vi kan løse problemet på samme måde.
   • Tag først afledningen af ​​ligningen:
     

     s = 5t - 3t + 2t + 9
     s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
     15t - 6t + 2t - 6t + 2

   • Derefter erstatter vi værdien af ​​t (4) i:
     

     s = 15t - 6t + 2
     15(4) - 6(4) + 2
     15(16) - 6(4) + 2
     240 - 24 + 2 = 22 meter i sekundet

2. 

   Brug metoden til beregning af graf til at finde den øjeblikkelige hastighed ved (1; 3) for forskydningsligningen s = 4t - t. Til dette problem bruger vi koordinater (1; 3) som punkt P, men vi skal finde andre Q-punkter i nærheden af ​​det. Så er alt, hvad vi skal gøre, at finde H-værdierne og udlede den estimerede værdi.
   • Først finder vi Q-punkter, når t = 2; 1,5; 1.1 og 1.01.
     

     s = 4t - t
     
     t = 2: s = 4 (2) - (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, altså Q = (2; 14)
     
     t = 1,5: s = 4 (1,5) - (1,5)
     4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, altså Q = (1,5; 7,5)
     
     t = 1,1: s = 4 (1.1) - (1.1)
     4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, altså Q = (1,1; 3,74)
     
     t = 1,01: s = 4 (1,01) - (1,01)
     4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, så det er det Q = (1,01; 3,0704)

   • Dernæst får vi H-værdier:
     

     Q = (2; 14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
     H = (11) / (1) = 11
     
     Q = (1,5; 7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
     H = (4,5) / (0,5) = 9
     
     Q = (1,1; 3,74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
     H = (0,74) / (0,1) = 7,3
     
     Q = (1,01; 3,0704): H = (3,0704 - 3) / (1,01 - 1)
     H = (0,0704) / (0,01) = 7,04

   • Da H-værdier synes at være tættere på 7, kan vi sige det 7 meter i sekundet er det omtrentlige estimat af den øjeblikkelige hastighed ved koordinaten (1; 3).
   reklame

Råd

• For at finde acceleration (ændring i hastighed over tid) skal du bruge metoden i første del for at få afledningen af ​​forskydningsligningen. Tag derefter afledningen igen for den afledte ligning, du lige har fundet. Resultatet er, at du har en ligning til accelerationen på et givet tidspunkt - alt hvad du skal gøre er at tilslutte tiden.
• Ligningen, der viser forholdet mellem Y (forskydningsafstand) og X (tid) kan være meget enkel, ligesom Y = 6x + 3. I dette tilfælde er hældningen konstant, og det er ikke nødvendigt at tage afledningen til beregning af hældningen, det vil sige, den følger den grundlæggende ligningsform Y = mx + b for en lineær graf, dvs. hældningen er lig med 6.
• Forskydningsafstanden er som afstand, men har en retning, så det er en vektormængde, og hastighed er en skalar størrelse. Rejseafstande kan være negative, mens afstande kun kan være positive.