Indhold

• Foreløbige oplysninger
• Trin
• Del 1 af 3: Det grundlæggende
• Del 2 af 3: Egenskaber ved Laplace -transformationen
• Del 3 af 3: Find Laplace Transform ved serieudvidelse

Laplace -transformationen er en integreret transformation, der bruges til at løse differentialligninger med konstante koefficienter. Denne transformation er meget udbredt inden for fysik og teknik.

Selvom du kan bruge de relevante tabeller, er det nyttigt at forstå Laplace -transformationen, så du selv kan gøre det om nødvendigt.

Foreløbige oplysninger

• Givet en funktion ${ displaystyle f (t)}$defineret for ${ displaystyle t geq 0.}$ Derefter Laplace -transformation fungere ${ displaystyle f (t)}$ er den næste funktion af hver værdi ${ displaystyle s}$, hvor integralet konvergerer:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Laplace-transformationen tager en funktion fra t-regionen (tidsskalaen) til s-regionen (transformationsregionen), hvor ${ displaystyle F (r)}$ er en kompleks funktion af en kompleks variabel. Det giver dig mulighed for at flytte funktionen til et område, hvor en løsning lettere kan findes.
• Det er klart, at Laplace -transformationen er en lineær operator, så hvis vi har at gøre med en sum af termer, kan hver integral beregnes separat.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Husk, at Laplace -transformationen kun fungerer, hvis integralet konvergerer. Hvis funktionen ${ displaystyle f (t)}$ har diskontinuiteter, er det nødvendigt at være forsigtig og korrekt sætte grænserne for integration for at undgå usikkerhed.

Trin

Del 1 af 3: Det grundlæggende

1. 1 Erstat funktionen i Laplace -transformationsformlen. Teoretisk set er Laplace -transformationen af ​​en funktion meget let at beregne. Som et eksempel kan du overveje funktionen ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, hvor ${ displaystyle a}$ er en kompleks konstant med ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Vurder integralet ved hjælp af de tilgængelige metoder. I vores eksempel er estimatet meget enkelt, og du kan klare dig med enkle beregninger. I mere komplekse tilfælde kan det være nødvendigt med mere komplekse metoder, f.eks. Integration med dele eller differentiering under integraltegnet. Begrænsningstilstand ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ betyder, at integralet konvergerer, det vil sige dets værdi har en tendens til 0 som ${ displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {align}}}$
   • Bemærk, at dette giver os to typer Laplace -transformation, med sinus og cosinus, siden ifølge Eulers formel ${ displaystyle e ^ {iat}}$... I dette tilfælde får vi i nævneren ${ displaystyle s-ia,}$ og det er kun tilbage at bestemme de virkelige og imaginære dele. Du kan også evaluere resultatet direkte, men det ville tage lidt længere tid.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Overvej Laplace -transformationen af ​​en effektfunktion. Først skal du definere transformationen af ​​effektfunktionen, da linearitetsegenskaben giver dig mulighed for at finde transformationen til Af alle polynomer. En funktion af formularen ${ displaystyle t ^ {n},}$ hvor ${ displaystyle n}$ - ethvert positivt heltal. Kan integreres stykke for stykke for at definere en rekursiv regel.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Dette resultat udtrykkes implicit, men hvis du erstatter flere værdier ${ displaystyle n,}$ du kan etablere et bestemt mønster (prøv at gøre det selv), som giver dig mulighed for at få følgende resultat:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}}$
   • Du kan også definere Laplace -transformationen af ​​fraktionelle kræfter ved hjælp af gamma -funktionen. For eksempel kan du på denne måde finde transformationen af ​​en funktion som f.eks ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Selvom funktioner med brøkdele skal have nedskæringer (husk alle komplekse tal ${ displaystyle z}$ og ${ displaystyle alpha}$ kan skrives som ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, fordi ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$), kan de altid defineres på en sådan måde, at snittene ligger i det venstre halvplan og dermed undgår problemer med analysen.

Del 2 af 3: Egenskaber ved Laplace -transformationen

1. 1 Lad os finde Laplace -transformationen af ​​funktionen ganget med e-ent{ displaystyle e ^ {at}}. Resultaterne opnået i det foregående afsnit tillod os at finde ud af nogle interessante egenskaber ved Laplace -transformationen. Laplace -transformationen af ​​funktioner som cosinus, sinus og eksponentiel funktion synes at være enklere end effektfunktionstransformen. Multiplikation med ${ displaystyle e ^ {at}}$ i t-regionen svarer til flytte i s-regionen:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Denne egenskab giver dig straks mulighed for at finde transformationen af ​​funktioner som f.eks ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, uden at skulle beregne integralet:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Lad os finde Laplace -transformationen af ​​funktionen ganget med tn{ displaystyle t ^ {n}}. Overvej først multiplikation med ${ displaystyle t}$... Per definition kan man differentiere en funktion under en integral og få et overraskende enkelt resultat:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { delvis s}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {align}}}$
   • Når denne operation gentages, får vi det endelige resultat:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Selvom omlægningen af ​​operatører af integration og differentiering kræver en vis begrundelse, vil vi ikke præsentere det her, men kun bemærke, at denne operation er korrekt, hvis det endelige resultat giver mening. Du kan også tage højde for, at variablerne ${ displaystyle s}$ og ${ displaystyle t}$ ikke afhænger af hinanden.
   • Ved hjælp af denne regel er det let at finde transformationen af ​​funktioner som f.eks ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, uden re-integration af dele:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Find Laplace -transformationen af ​​funktionen f(-ent){ displaystyle f (at)}. Dette kan let gøres ved at erstatte variablen med u ved hjælp af definitionen af ​​en transformation:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F venstre ({ frac {s} {a}} højre) slut {justeret}}}$
   • Ovenfor fandt vi Laplace -transformationen af ​​funktioner ${ displaystyle sin at}$ og ${ displaystyle cos at}$ direkte fra den eksponentielle funktion. Ved at bruge denne egenskab kan du få det samme resultat, hvis du finder de virkelige og imaginære dele ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Find Laplace -transformationen af ​​derivatet f′(t){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. I modsætning til de tidligere eksempler, i dette tilfælde skal integrere stykke for stykke:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {align}}}$
   • Da det andet derivat forekommer i mange fysiske problemer, finder vi Laplace -transformationen også for det:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • I det generelle tilfælde defineres Laplace -transformationen af ​​n.ordens derivat som følger (dette gør det muligt at løse differentialligninger ved hjælp af Laplace -transformationen):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Del 3 af 3: Find Laplace Transform ved serieudvidelse

1. 1 Lad os finde Laplace -transformationen til en periodisk funktion. Den periodiske funktion opfylder betingelsen ${ displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ hvor ${ displaystyle T}$ er funktionens periode, og ${ displaystyle n}$ er et positivt heltal. Periodiske funktioner er meget udbredt i mange applikationer, herunder signalbehandling og elektroteknik. Ved hjælp af enkle transformationer får vi følgende resultat:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { justeret}}}$
   • Som du kan se, i tilfælde af en periodisk funktion, er det tilstrækkeligt at udføre Laplace -transformationen i en periode.
2. 2 Udfør Laplace -transformationen til den naturlige logaritme. I dette tilfælde kan integralet ikke udtrykkes i form af elementære funktioner. Ved hjælp af gamma -funktionen og dens serieudvidelse kan du estimere den naturlige logaritme og dens grader. Tilstedeværelsen af ​​Euler-Mascheroni-konstanten ${ displaystyle gamma}$ viser, at for at estimere dette integral er det nødvendigt at bruge en serieudvidelse.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Overvej Laplace -transformationen af ​​den unormaliserede sinc -funktion. Fungere ${ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ udbredt til signalbehandling, i differentialligninger svarer det til den sfæriske Bessel -funktion af den første slags og nul rækkefølge ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ Laplace -transformationen af ​​denne funktion kan heller ikke beregnes ved hjælp af standardmetoder. I dette tilfælde udføres transformationen af ​​individuelle medlemmer af serien, som er effektfunktioner, så deres transformationer nødvendigvis konvergerer på et givet interval.
   • Først skriver vi udvidelsen af ​​funktionen i en Taylor -serie:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Nu bruger vi den allerede kendte Laplace -transformering af en effektfunktion. Factorials annulleres, og som følge heraf får vi Taylor -udvidelsen til arctangenten, det vil sige en vekslende serie, der ligner Taylor -serien for sinus, men uden factorials:
     • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {align}}}$